Matematik fizikaning asosiy tenglamalari haqida ma’lumot

Mavzu : O’zgaruvchi koefitsietntli yuklangan issiqlik tarqalish tenglamasi uchun Koshi masalasining mavjudligi va yagonaligi .

1 Issiqlik tarqalish tenglamasi .

2 Koshining asosiy masalalari

Matematik fizikaning asosiy tenglamalari haqida ma’lumot.
Asosiy tenglamalarni keltirib chiqarishdan avval matematik analizdan ma’lum bo’lgan fazoda soha bo’yicha olingan n o’lchovli integralni sohaning chegarasi bo’yicha olingan n o’lchovli integralni sohaning chegarasi bo’yicha olingan (n-1) o’lchovli integral bilan almashtirish imkonini beradigan Gauss-Ostragradskiy formulasini eslatib o’tamiz.
funksiyalar bo’laklari silliq S sirt bilan chegaralangan S yopiq sohada uzluksiz bo’lib, ularning birinchi tartibli hosilalari da uzluksiz bo’lsin. Quyidagi Gauss-Ostragradskiy formulasi o’rinlidir:

bu yerda lar S sirtda o’tkazilgan tashqi normalning yo’naltiruvchi kosinuslari. Agar funksiyalarni biror P vektorning komponentlari deb hisoblab, uning tashqi normalligi proyeksiyasini orqali belgilab olsak,

bo’ladi.

ni e’tiborga olsak, Gauss-Ostragradskiy formulasi

ko’rinishda yoziladi. Agar normal ichki bo’lsa sirt bo’yicha integral oldida “-” ishora bo’ladi.
2.Issiqlik tarqalish tenglamasi. Issiqlik tarqalish yoki muhitda zarrachalarning diffuziya jarayonlari ushbu umumiy diffuziya tenglamasi bilan ifodalanadi:
(1.1.8)
Issiqlik tarqalish tenglamasini keltirib chiqaramiz. Muhit nuqtasining t vaqtdagi haroratini u(x,t) orqali, shu nuqtani o’z ichiga olgan ixtiyoriy hajm (soha) ni V orqali belgilab olamiz. V ning chegarasi S bo’lsin. Ma’lumki muhit turli qismlarining harorati turlicha bo’lsa, u holda ko’proq qizigan qismdan ozroq qizigan qismga qarab issiqlik harakati sodir bo’ladi. V hajmda vaqt oralig’ida issiqlik o’zgarishini tekshiramiz.
Fur’ye qonuniga asosan, S sirtning qismdan vaqtda o’tuvchi issiqlik miqdori , va haroratning normal bo’yicha hosilasi ga proporsional bo’ladi, ya’ni
(1.1.9)
Bu yerda k>0 funksiya –ichki issiqlik o’tkazuvchanlik koeffisiyenti, n-issiqlik harakati yo’nalishi bo’yicha ga o’tkazilgan normal.
Tekshirilayotgan muhitni izotrop deb hisoblaymiz ya’ni issiqlik o’tkazuvchanlik koeffisiyenti k faqat muhitning
nuqtasiga bog’liq bo’lib, S sirtning normali yo’nalishiga bog’liq emas, boshqacha aytganda issiqlik tarqatayotgan yo’nalishga bog’liq emas. S sirt orqali vaqt oralig’ida
V hajmga kirayotgan issiqlik miqdori (1.1.9) formulaga asosan
(1.1.10)
ga teng, n-S sirtga o’tkazilgan ichki normal, chunki issiqlik S ning ichiga kiryapti. V hajm bo’lagining haroratini vaqtda ga o’zgartirish uchun sarf qilinadigan issiqlik miqdori

ga teng, bunda -muhitning zichligi va issiqlik sig’imi (berilgan jismni ga isitish uchun zarur bo’lgan issiqlik miqdori). Demak, V hajm haroratini ga o’zgartirish uchun zarur bo’lgan issiqlik miqdori
(1.1.11)
ga teng.

bo’lgani uchun (1.1.11) tenglik ushbu ko’rinishda yoziladi:
(1.1.12)
Faraz qilaylik, tekshirilayotgan hajm ichida issiqlik manbalari bo’lsin. Issiqlik manbalarining zichligini (birlik vaqt ichida birlik hajmdan ajralgan yoki unga singib ketgan issiqlik miqdori F(x,t) deb belgilab olamiz.
V hajmdan vaqt oralig’ida ajralayotgan yoki unga singib ketayotgan issiqlik miqdori

ga teng. Endi balans tenglamasini tuzamiz. Ravshanki, , ya’ni
(1.1.13)
u(x,t) funksiyani fazoyiy koordinatalar bo’yicha ikki marta, t bo’yicha bir marta differensillanuvchi va bu hosilalar tekshirilayotgan sohada uzluksiz deb hisoblab,

Tenglikni e’tiborga olsak, Gauss-Ostragradskiy formulasiga asosan

tenglikka ega bo’lamiz. Bunga asosan (1.1.13) formula ushbu ko’rinishda yoziladi:
.
Bundan darhol V hajm va vaqt oralig’i ixtiyoriy bo’lgani uchun
(1.1.14)
issiqlik tarqalish tenglamasini hosil qilamiz.
Agar muhit bir jinsli bo’lsa,ya’ni funksiyalar o’zgarmas bo’lsa, (1.1.14) tenglama
(1.1.15)
ko’rinishga keladi, bunda

(1.1.15) tenglama issiqlik o’tkazuvchanlik tenglamasi ham deyiladi. (1.1.15) tenglamani keltirib chiqarishda fazoviy koordinatalar soni n ni 3 ga teng deb hisoblagan edik. Bu tenglamada n son ixtiyoriy bo’lishi mumkin. Agar tekshirilayotgan muhitda issiqlik manbalari bo’lmasa, ya’ni F=0 bo’lsa, bir jinsli issiqlik o’kazuvchanlik tenglamasi hosil bo’ladi:

Tebranish tenglamalaridek, issiqlik tarqalish jarayonini to’la ifodalash uchun muhitda haroratning boshlang’ich tarqalishi (boshlang’ich shart) hamda muhitning chegarasidagi holati berilishi shart. Boshlang’ich shart, to’lqin tenglamalaridan farqli, u(x,t) funksiyaning boshlang’ich vaqtdagi qiymatini berishdan iboratdir, ya’ni
(1.1.16)
Chegaraviy shartlar haroratning chegaradagi rejimiga qarab turlicha bo’lishi mumkin.
1)Agar S chegarada berilgan bir xil harorat saqlanayotgan bo’lsa, u holda
(1.1.17)
2)Agar S da berilgan issiqlik oqimi bir xil bo’lsa, u holda
(1.1.18)
3) Agar S da issiqlik almashinish sodir bo’layotgan bo’lsa, Nyuton qonuniga asosan
(1.1.19)
bo’ladi. Bunda h-issiqlik almashinish koeffisiyenti, -atrof muhitning harorati xuddi issiqlik tarqalish tenglamasiga o’xshash zarrachalar diffuziyasi tenglamasi keltirib chiqariladi. Faqat bunda Furye qonuni o’rniga birlik vaqtda sirtning ds qismidan o’tuvchi zarrachalar oqimi uchun Nernst qonunidan foydalanish kerak.
Bunga asosan
,
bu yerda D(x) –diffuziya koeffisiyenti, u(x,t)-t vaqtda x nuqtadagi zarrachalar zichligi. u(x,t) zichlik uchun (1.1.8) ko’rinishdagi tenglamaga ega bo’lamiz, unda g’ovaklik koeffisiyentini belgilaydi, q esa muhitning singdirishini ifodalaydi. (1.1.15) issiqlik o’tkazuvchanlik tenglamasi parabolik tipdagi tenglamalarning yaqqol vakilidir.


2.2. Issiqlik o’tkazuvchanlik tenglamasining fundamental yechimi.
Quyidagi Koshi masalasini qarab chiqaylik:
sohada shunday chegaralangan funksiyani topingki, u issiqlik o‘tkazuvchanlik tenglamasini
(2.2.1)
va quyidagi boshlang‘ich shartni qanoatlantirsin:
. (2.2.2)
Ushbu masalaning trivial bo‘lmagan yechimini quyidagi ko‘paytma ko‘rinishida qidiramiz:
(2.2.3)
(2.2.3) ni (2.2.1) ga keltirib qo‘yib:

ifodani olamiz.
Bu yerda - ajratish parametri. Bundan:
, (2.2.4)
, (2.2.5)
(2.2.4) va (2.2.5) ni yechib, (2.2.1) tenglamaning quyidagi ko‘rinishdagi xususiy yechimlarini topamiz;
, (2.2.6)
Bu funksiyalar chegaralanganlik shartini qanoatlantiradi. Bu yerda - ixtiyoriy haqiqiy son, shuning uchun biz “+” ishorasini olib, quyidagi funksiyani hosil qilamiz:
(2.2.7)
t=0 da boshlang’ich shartning bajarilishini talab qilamiz:
(2.2.8)
Endi Furye integralini teskari almashtirish formulasidan foydalanamiz:
(2.2.9)
(2.2.9) ni (2.2.7) ga qo‘yib va integrallash tartibini o’zgartirib quyidagi ifodani olamiz:
(2.2.10)
(2.2.10) ifodadagi ichki integral
(2.2.11)
(2.2.11) ni (2.2.10) ga qo‘yib qidirilayotgan yechimning integral ko‘rinishini olamiz:

(2.2.12)
bu yerda
. (2.2.13)
(2.2.13) formula bilan aniqlanadigan funksiyani ko‘pincha issiqlik o‘tkazuvchanlik tenglamasining fundamental yechimi ham deydilar.
Ushbu funksiya
1) issiqlik o‘tkazuvchanlik tenglamasini qanoatlantiradi. (tekshiramiz)
2) Har qanday va t>0 o‘zgaruvchilar uchun

(2.2.12) fomulaga Puasson integrali yoki Puasson formulasi ham deyiladi.

Bir jinsli bo‘lmagan tenglama

va quyidagi nol boshlang‘ich shartni
.
qanoatlantiradigan yechim quyidagi formula bilan aniqlanadi:
(2.2.14)