Matematik fizikaning asosiy tenglamalari haqida ma’lumot

Koshi masalasi yechimining mavjudligi. Ushbu

formula bilan aniqlangan funksiya (2.2.1) tenglama uchun Koshi masalasining yechimidan iboratdir. Bu yerda E1 bo’yicha olingan integralni quyidagicha tushunish lozim:

(2.2.21) formula Puasson formulasi deyiladi
Avvalo, Puasson formulasi bilan aniqlangan u(x, t) funksiyaning t>0 bo’lganda uzluksiz bo’lishini isbotlaymiz. Shu maqsadda ,…, , t o’zgaruvchilar fazosida

tengsizliklar bilan aniqlangan sohani qaraymiz, bunda I, T—musbat o’zgarmaslar.

(2 .2 .1) formulada ishtirok etayotgan

integralning x va t bo’yicha (2.2.22) sohada tekis yaqinlashuvchanligini ko’rsatamiz. Yetarli katta R sonni olib,



integralni baholaymiz.
funksiya chegaralangan, ya’ni .
So’ngra, deb hisoblaymiz. U holda

Bunga asosan

Demak ,

Ushbu

integral yaqinlashuvchi bo’lgani uchun, (2.2.24) ning o’ng tomonidagi integral R yetarli katta bo’lganda istalgancha kichik bo’ladi, bu integral x ga ham, t ga ham bog’liq, bo’lmagani uchun (2.2.23) integral tekis yaqinlashuvchi bo’ladi.
Bundan Puasson formulasi bilan aniqlangan u(x, t) funksiyaning t>0 da uzluksizligi kelib chiqadi.
Endi t>0 bo’lganda u(x, t) funksiyani t va x nuqtaning koordinatlari bo’yicha istalgancha differensiallanuvchi ekanligini va barcha hosilalarni Puasson formulasini integral belgisi ostida differensiallash natijasida hosil qilish mumkinligini ko’rsatamiz.
Misol uchun hosilani tekshiramiz. Agar Puasson formulasining o’ng tomonini t bo’yicha formal differensiallasak , quyidagi ifodani hosil qilamiz:

Bu ifodaning o’ng tomonidagi birinchi integral yuqorida ko’rsatganimizga asosan (2.2.22) sohada tekis yaqinlashuvchi bo’ladi. Shu singari ikkinchi integralning ham bu sohada tekis yaqinlashuvchanligi tekshirib ko’riladi.

Bundan darhol hosilaning mavjudligi, uzluksizligi va (2.2.2) ifoda bilan ustma-ust tushishi kelib chiqadi.
Xuddi shunday u(x,t) funksiya boshqa hosilalarining mavjudligi isbot qilinadi. Puasson formulasini bevosita differensiallab, u(x,t) funksiyaning hosilalarini tenglamaga qo’yib, bu funksiyaning (2.2.1) tenglamani qanoatlantirishiga hosil qilamiz.
Endi u(x, t) funksiyaning chegaralanganligini va (2.2.18) boshlang’ich shartni qanoatlantirishini isbot qilish qoldi. (2.2.21) formulada almashtirish bajaramiz u holda formula ushbu

ko’rinishda yoziladi. Ma’lum bo’lgan

formulaga asosan

(2.2.26) formuladan

Demak, u(x,t) funksiya chegaralangan.

(2.2.26) va (2.2.27) formulalarga asosan

(2.2.28) formuladagi integralni |s|>R va |s|U holda

Ushbu



integral yaqinlashuvchi bo’lgani uchun, shunday tanlash mumkinki, bo’lganda

tengsizlik bajariladi.
Biror sonni aniqlab qo’yamiz. U holda shunday topish mumkinki, bo’lganda va ixtiyoriy uchun quyidagi tengsizlik bajariladi:

Undan keyin

Demak,

ya‘n i , ixtiyoriy bo’lgani uchun