Matematik statistikani vazifalari

Tanlanma xarakteristikalari. Ma`lumki, ehtimollar nazariyasida taqsimot funksiyani bilish shu taqsimot funksiyasiga ega bo`lgan t.m. haqida to`liq ma`lumotga ega bo`lishni anglatadi. Ammo juda ko`p amaliy masalalarni hal qilishda t.m.ni to`liq bilish shart bo`lmay, balki uning ayrim sonli xarakteristikalarini bilish kifoya bo`ladi. T.m.ning asosiy sonli xarakteristikalari bu-matematik kutilma va dispersiyalardir. Matematik kutilma t.m.ning qiymatlari zich joylashadigan o`rta qiymatni anglatsa, dispersiya esa t.m. qiymatlarini shu o`rta qiymat atrofida qanchalik tarqoqligini bildiradi. Shunga o`xshash sonli xarakteristikalarni statistik taqsimot funksiyasiga nisbatan ham kiritish mumkin. Matematik kutilmaning statistik o`xshashi empirik o`rta qiymat yoki tanlanma o`rta qiymatidan iborat bo`ladi va u (151) amaliy qiymat yordamida quyidagicha aniqlanadi
. (164)
O‘rta qiymatni quyidagi ko‘rinishda ham yozish mumkin:
, (165)
bu yerda har bir variantaning mos chastotasidir.
Empirik dispersiya yoki tanlanma dispersiyasi esa quyidagicha aniqlanadi:
, (yoki ) (166)
r-ichi tartibli tanlanma momentlar va markaziy momentlar ham shunga o`xshash aniqlanadi:
(167)
Agar tajribalar soni cheksiz katta bo`lsa barcha statistik taqsimot xarakteristikalari nazariy sonli xarakteristikalarga yaqin bo`ladi. Endi shu yaqinlikni o`rganishga kirishamiz.

2 o‘lchovli tasodifiy miqdor ning kovariatsiya koeffitsienti quyidagi matematik kutilishga aytiladi:

.
2 o‘lchovli diskret tasodifiy miqdor ning kovariatsiya koeffitsienti quyidagicha hisoblanadi:
.
2 o‘lchovli uzluksiz tasodifiy miqdor ning kovariatsiya koeffitsienti quyidagicha hisoblanadi:
.
va tasodifiy miqdorlar orasidagi chiziqli bog‘lanish darajasini korrelyatsiya koeffitsienti ko‘rsatib beradi:
, bu yerda .
Agar va tasodifiy miqdorlar o‘zaro bog‘liq bo‘lmasa, korrelyatsiya koeffitsienti va bu holda tasodifiy miqdorlar korrelyatsiyalanmagan deyiladi.
Ikkita o‘zaro korrelyatsiyalangan tasodifiy miqdorlar o‘zaro bog‘liq bo‘ladi, biroq aksinchasi o‘rinli bo‘lmasligi mumkin.
va tasodifiy miqdorlar o‘zaro bog‘liq bo‘lsin. Ularning birini ikkinchisining chiziqli funktsiyasi sifatida tasvirlaymiz:

tasodifiy miqdorning tasodifiy miqdorga chiziqli o‘rtacha kvadratik regressiyasi quyidagi ko‘rinishga ega:

bu yerda - va tasodifiy miqdorlarning korrelyatsiya koeffitsienti;
- tasodifiy miqdorning tasodifiy miqdorga bo‘lgan regressiyasining koeffitsienti.
tasodifiy miqdorning tasodifiy miqdorga bo‘lgan regressiyasi tenglamasi:
.
Bu to‘g‘ri chiziqqa regressiya to‘g‘ri chizig‘i deyiladi.
kattalik tasodifiy miqdorning tasodifiy miqdorga nisbatan qoldiq dispersiyasi deyiladi. Bu kattalik ni chiziqli funktsiya bilan almashtirilganda yo‘l qo‘yilgan xatolikning miqdorini bildiradi.
bo‘lganda, =0 bo‘ladi, hamda va tasodifiy miqdorlar orasida esa o‘zaro chiziqli funksional bog‘liqlik bor bo‘ladi.
tasodifiy miqdorning tasodifiy miqdorga bo‘lgan regressiyasi tenglamasi:

- tasodifiy miqdorning tasodifiy miqdorga bo‘lgan regressiyasining koeffitsienti va - tasodifiy miqdorning tasodifiy miqdorga nisbatan qoldiq dispersiyasi deyiladi.
Agar bo‘lsa, u holda ikkala
va
regressiya chiziqlari ustma-ust tushadi. Tenglamalardan ko‘rinib turibdiki, ikkala regressiya to‘g‘ri chizig‘i ham nuqtada, ya’ni 2-o‘lchovli tasodifiy miqdor ning sochilish markazidan o‘tadi.
Matematik statistikaning vazifalari • Matematik statistikani qo’llashdan asosiy maqsad ommaviy hodisalar va jarayonlar haqida ularni kuzatish yoki eksperimentlar natijasida olingan ma’lumotlar asosida xulosalar hosil qilishdan iborat. Bu statistik xulosalar alohida tajribalarga tegishli bo’lmasdan, balki tadqiq qilinayotgan hodisani keltirib chiqaruvchi shartsharoitlarning doimiy ekanligi farazidagi shu hodisaning umumiy tavsiflari (ehtimolliklari, taqsimot qonunlari va ularning parametrlari, matematik kutilmalari va h. k. ) haqidagi da’volardan iborat. • Ommaviy tasodifiy hodisalar bo’ysunadigan qonuniyatlarni aniqlash statistik ma’lumotlarni — kuzatish natijalarini ehtimollar nazariyasi uslublari bilan o’rganishga asoslanadi.

• Matematik statistikaning birinchi vazifasi (masalasi) — kuzatishlar yoki maxsus o’tkazilgan eksperimentlar natijasida olingan statistik ma’lumotlarni to’plash va guruhlash usullarini ko’rsatish. • Matematik statistikaning ikkinchi vazifasi (masalasi): • a) hodisaning noma’lum ehtimolligini baholash; noma’lum taqsimot funktsiyasini baholash; ko’rinishi ma’lum bo’lgan taqsimotning parametrlarini baholash; tasodifiy miqdorning boshqa bitta yoki bir nechta tasodifiy miqdorlarga bog’liqligini baholash va h. k. ; • b) noma’lum taqsimotning ko’rinishi haqidagi yoki ko’rinishi ma’lum bo’lgan taqsimot parametrlarining kattaligi haqidagi statistik gipotezalarni tekshirish kabi tadqiqot maqsadlariga bog’liq ravishda statistik ma’lumotlarni tahlil qilish usullarini ishlab chiqishdan iborat.

• Demak, matematik statistikaning predmeti ilmiy va amaliy xulosalar hosil qilish maqsadida statistik ma’lumotlarni to’plash va qayta ishlash usullarini yaratishdan iborat. • Matematik statistika ehtimollar nazariyasiga tayanadi va uning maqsadi — bosh to’plam tavsiflarini tanlanma ma’lumotlari asosida baholash.

Bosh va tanlanma to‘plam • Tanlanma to’plam, yoki oddiy qilib, tanlanma deb tasodifiy ravishda tanlab olingan ob’yektlar to’plamiga aytiladi. Bosh to’plam deb tanlanma ajratiladigan ob’yektlar to’plamiga aytiladi. • To’plam (tanlanma yoki bosh to’plam)ning hajmi deb bu to’plamdagi ob’yektlar soniga aytiladi. Masalan, agar 1000 ta detaldan tekshiruv uchun 100 ta detal tanlab olingan bo’lsa, u holda bosh to’plam hajmi N=1000 , tanlanma hajmi esa n=100 bo’ladi. • Tanlanmani tuzishda ikki xil yo’l tutish mumkin: ob’yekt tanlanib, uning ustida kuzatish o’tkazilganidan so’ng, u bosh to’plamga qaytarilish yoki qaytarilmasligi mumkin. Shunga bog’liq ravishda tanlamalar takror va notakror tanlamalarga ajratiladi. • Takror tanlanma deb shunday tanlanmaga aytiladiki, bunda tanlab olingan ob’yekt (keyingisini olishdan oldin) bosh to’plamga qaytariladi. Notakror tanlanma deb tanlab olingan ob’yekt yana bosh to’plamga qaytarilmaydigan tanlanmaga aytiladi.

• Tanlanmadagi ma’lumotlar bo’yicha bosh to’plamning bizni qiziqtirayotgan belgisi haqida yetarlicha ishonch bilan fikr yuritish uchun tanlanmaning ob’yektlari uni to’g’ri tavsiflashi zarur. Boshqacha aytganda, tanlanma bosh to’plamning mutanosibliklarini to’g’ri tavsiflashi kerak, ya’ni tanlanma reprezentativ (to’laqonli tavsiflovchi) bo’lishi lozim.

• Amaliyotda tanlashning turli usullari qo’llaniladi. Bosh to’plamni qismlarga ajratishni talab qilmaydigan tanlash mavjud, masalan, oddiy qaytarilmaydigan tasodifiy tanlash va oddiy qaytariladigan tasodifiy tanlash, shuningdek, bosh to’plam qismlarga ajratilgandan keyin amalga oshiriladigan tanlash (tipik tanlash, mexanik tanlash, seriyali tanlash) ham qo’llaniladi. • Ob’yektlar butun bosh to’plamdan emas, balki uning har bir tipga tegishli qismlaridan olinsa, bunday tanlash tipik tanlash deb ataladi. • Seriyali tanlash deb shunday tanlashga aytiladiki, bunda ob’ektlar bosh to’plamdan bittalab emas, balki «seriya» lab olinadi va ular yalpisiga tekshiriladi.

• Butun bosh to’plamdan ob’yektlar bittalab olinadigan tanlash oddiy tasodifiy tanlash deb ataladi. Agar tanlangan ob’yektlar keyingi tanlovda qatnashishi uchun bosh to’plamga qaytarilsa, bunday tanlash oddiy qaytariladigan tasodifiy tanlash, aks holda esa oddiy qaytarilmaydigan tasodifiy tanlash bo’ladi.