Matematika darslarida funksiya tushunchasini o’rganishga inovatsion yondashuv

3⁰. Funksiyaning grafik usulda berilishi.

Funksiya har doim grafik usulda berilmasada, uni grafik tasvirlashga intiladilar, chunki funksiya grafigi juda ayon va kо‘rgazmali bо‘lgani bilan xarakterlanadi.

oraliqda aniqlangan funksiya berilgan va koordinata tekisligida va ning bir-biriga mos bir juft qiymatlarini olaylik, bu yerda bо‘lib, bо‘ladi, bu bir juft qiymatlarning tekisligidagi obrazi sifatida absissali va ordinatali nuqta xizmat qiladi. da о‘zgarganda shu singari barcha nuqtalar tо‘plami funksiyani grafigini tashkil etib, bu grafik funksiyaning tekslikdagi geometrik о‘rnini ifodalaydi. Masalan, funksiyaning grafigi kо‘rinishdagi nuqtalar, ya’ni bir xil koordinatalarga ega nuqtalar tо‘plamidan iboratdir. Nuqtalarning bu tо‘plami I va III chorak burchaklarining bissektrisasidir. Amalda funksiya grafigini yasash uchun funksiya argumentining ba’zi qiymatlariga mos qiymatlar jadval tuziladi, tekslikda ularga mos tegishli nuqtalar belgilanadi va hosil qilingan nuqtalar chiziq bilan tutashtiriladi. Bunda funksiya grafigi silliq (tekis) chiziq, topilgan nuqtalar esa funksiya о‘zgarishini yetarlicha aniqlikda aks ettiradi deb faraz qilinadi.

Misol: 1⁰. funksiyaning grafigini yasang.

Yechilishi: Funksiyaning ba’zi qiymatlari jadvalini tuzamiz.

x	...	-3	-2,5	-2	-1	-0,5	0	0,5	1	2	2,5	3	...
u	...	9	6,25	4	1	0,25	0	0,25	1	4	6,25	9	...

Topilgan (-3;9) (-2;5, 6;25), (-2;4), (-1;1), (-0;5, 0;25), (0;0), (0;5, 0;25), (1;1), (2;4), (2;5; 6;25), (3;9) nuqtalarni koordinata teksligida belgilaymiz (a-chizma), bu nuqtalarni silliq chiziq bilan tutashtirib, funksiyaning grafigini (aniqrog‘i, grafik eskizini) hosil qilamiz. Bu chiziq parabola deyiladi. (b-chizma).

2⁰. Ushbu

funksiyaning grafigini yasang.

Y echish: Berilgan funksiya uchta ifoda bilan aniqlanadi: agar bо‘lganda , agar bо‘lganda, agar bо‘lganda. Funksiyaning qiymatlar tо‘plami esa dan iborat bо‘ladi, grafigi esa 1-chizmadan iborat bо‘ladi.

3⁰ . funksiyaning grafigini yasang.

Yechilishi: Funksiyaning aniqlanish sohasi dan iborat. Agar

ekanligini e’tiborga olsak

YA’ni, agar va agar bо‘lganda. Bularni e’tiborga olib berilgan funksiyani grafigini chizamiz. (2-chizma).

4 –misol.

funksiyaning grafigi yasalsin.

Yechilishi: Ushbu jadvalni tuzaylik

	...	-4	-3	-2	-1	-1				0				1	1	2	3	4	5	...
	...	-5	-3	-1	1	1				0				1	1	-1	-3	-5	7	...

J advaldan aniqlangan nuqtalarni yasab, ularni silliq egri chiziq bilan birlashtirib funksiya grafigini hosil qilamiz. (3–chizma)
4⁰.Formulasiz berilgan funksiyalar.
Matematikada formulasiz berilgan funksiyalarga kо‘p hollarda duch kelamiz. Masalan, kabi ham belgilanadi) funksiya “x” ning butun qismi deb, haqiqiy sondan katta bо‘lmagan eng katta butun songa aytiladi. ( “butun” ma’nosini beradigan fransuzcha enter sо‘zini bosh harfi). funksiyani ifodalovchi hech qanday formula bо‘lmasa ham, va hokazo ekanligini aniqlash osondir.

sonning kasr qismi deb, shu son bilan uning butun qismi ayirmasiga, ya’ni ga aytiladi. Sonning kasr qismi kabi belgilanadi. Demak, .

Masalan: .

funksiyaning grafigini yasashni qaraymiz. Agar ; agar va h.k., ya’ni oraliqlarda funksiya о‘zgarmas qiymatlarni saqlagani uchun uning grafigi о‘ng uchlari tegishli bо‘lmagan qator, pog‘onasimon joylashgan gorizontal birlik kesmalardan tashkil topadi. (4-chizma).

Endi funksiyani grafigini yasaymiz. ekanligiga e’tibor bersak, dastavval grafikning uzunligi 1 ga teng bо‘lgan istalgan, masalan oraliqdagi grafikni yasash yetarlidir. Agar , shuning uchun bо‘ladi, agar va va h.k., umuman tо‘g‘ri chiziq kesmalaridan iborat bо‘ladi. Natijada funksiyaning grafigi 5–rasmdan iborat bо‘ladi.
5⁰. Grafigini tasvirlab bо‘lmaydigan funksiyalar.

Funksiyaning ta’rifini qarayotganda argument va funksiyaning qiymatlari orasidagi moslik qoidasi yoki qonuni hech chegaralanmagani uchun turli tabiatga ega bо‘lishi ham mumkin. Bu qoidani formula bilan ifodalash eng oson va tabiiy yо‘ldir. Funksiyani xarakterlovchi qoida berilsada, bu funksiyaning grafigini har doim ham tasvirlab bо‘lavermaydi. Misol uchun quyidagi qoida bilan aniqlangan funksiyani qaraylik.

Bu funksiya ning barcha qiymatlari uchun ni ning funksiyasi sifatida aniqlaydi. Bu funksiyaning grafigini tasvirlab bо‘lmaydi, chunki har qanday kichik kesmani olmaylik, bu funksiya cheksiz kо‘p marta nol va bir qiymatlarni qabul qiladi: (chunki bu kesmada cheksiz miqdorda ratsional va irratsional sonlar bor). Ammo bunga qaramasdan bu funksiya tо‘la aniqlangandir.

6⁰. Funksiyalarning parametrik va oshkormas holda berilishi haqida.

Odatda,

(1)

kо‘rinishda berilgan funksiyaga oshkor holda berilgan funksiya deb aytiladi.

Ba’zan argument funksiya orasidagi funksional bog‘lanish biror yordamchi о‘zgaruvchi (parametr) yordamida berilishi ham mumkin.

(2)

bu yerda t – biror T oraliqda aniqlangan yordamchi о‘zgaruvchi yoki parametr hisoblanadi, agar (2) tenglikning birinchisida teskari funksiyani aniqlash mumkin bо‘lsa, u holda funksiyani hosil qilamiz.

Masalan:

y o (3)

parametrik shaklda berilgan funksiya, bu tengliklarni kvadratga kо‘tarib qо‘shsak va ekanligini e’tiborga olib

(4)

yoki funksiyani hosil qilamiz. yarim tekislikda joylashgan yarim aylanani grafigini bildiradi. (6-chizma)

Demak, (3) parametrik tenglama markazi O(0,0) koordinatalar boshida, radiusi ga teng bо‘lgan ((4) tenglama ham xuddi shu aylanani tenglamasidir) aylanani tenglamasidan iborat bо‘lib, bu yerda aylananing ixtiyoriy nuqtasini O(0;0) aylana markazi bilan birlashtirishdan hosil bо‘lgan radiusning OX о‘qning musbat yо‘nalishi bilan tashkil qilgan burchagini bildiradi.

Ravshanki tenglamani markazi koordinatalar boshida bо‘lgan radiusi, ya’ni aylananing parametrik tenglamasidan iborat bо‘ladi.

Shuningdek,

yoki

tenglama markazi nuqtada radiusi esa ga teng, ya’ni aylananing parametrik tenglamasidan iboratdir.

Ba’zan funksiyalarni

(5)

tenglama yordamida oshkormas shaklda berilishi ham uchraydi, bu yerda argument, esa uning noma’lum funksiyasidan iboratdir. (5) tenglamani ba’zi hollarda “ ” ka nisbatan yechish mumkin bо‘ladi. Masalan: tenglamani “ ” ka nisbatan yechish mumkin bо‘lib, bu tenglama ikkita haqiqiy yechimga ega bо‘ladi: va ,

Ushbu

(6)

tenglama hech bir haqiqiy yechimga ega emas, chunki tenglikda chap tomondagi ifoda har doim musbat va da nolga teng bо‘lib, hech qachon -1 ga teng bо‘lmaydi. Shu sababdan (6) tenglama hech qanday funksiyani aniqlamaydi.

Endi ushbu

(7)

tenglamani qaraylik. Bu tenglama faqat dagina ma’noga (yechimga) ega bо‘lib, nuqtani bildiradi, xolos.

Ushbu

(8)

tenglama esa parabola egri chiziqni aniqlaydi.

(9)

tenglikdan esa “ ” ni aniqlash qiyin, bu tenglama da aniqlanmagan, shuningdek tо‘g‘ri chiziqning barcha nuqtalari (faqat (0,0) nuqtasidan boshqa) (9) tenglamaning yechimlari hisoblanadi.

Mustaqil yechish uchun mashqlar.

Quyidagi funksiyalarning juft va toqligini tekshiring.

Mustaqil yechish uchun misollar.

Quyidagi funksiyalarning о‘sishi va kamayishi tekshirilsin.

1) 2)

3) 4)

5) 6)
3⁰. Chegaralangan va chegaralanmagan funksiyalar.

funksiyaning о‘zgarish sohasidagi qiymatlari va tо‘plamning barcha nuqtalari uchun shunday о‘zgarmas soni mavjud bо‘lsaki, uni uchun tengsizlik bajarilsa, funksiya da yuqoridan (quyidan) chegaralangan deyiladi.

Agar funksiya tо‘plamda ham yuqoridan ham quyidan chegaralangan, ya’ni bо‘lsa, bu funksiya shu tо‘plamda chegaralangan deyiladi. Agar funksiya uchun yoki tengsizliklarni qanoatlantiruvchi va sonlari mavjud bо‘lmasa, u holda bu funksiya chegaralanmagan funksiya deyiladi.

Misollar: 1) da chegaralangandir, chunki barcha ning qiymatlari uchun tengsizlik о‘rinlidir, ya’ni sifatida olish mumkin, ni grafigi va tо‘g‘ri chiziqlar orasida yotadi.

2) funksiya oraliqda chegaralanmagan, chunki ning 0 ga yaqin qiymatlarida, masalan: va u istalgancha katta qiymatlarni: va h.k. qabul qiladi, ammo ixtiyoriy kesmada, bu yerda bu funksiya chegaralangandir:

3) funksiya ning istalgan qiymatlarida

tengsizlikni qanoatlantiradi, ya’ni funksiyaning grafikasi tо‘g‘ri chiziqdan pastda yotadi, shu sababdan ham funksiya yuqoridan chegaralangandir.

4) funksiya quyidan chegaalangan bо‘lib, funksiyaning grafikasi tо‘g‘ri chiziqdan yuqorida joylashgan bо‘ladi.
Funksiyalarning turlari

1⁰. О‘zgarmas funksiY. (bu yerda v – biror о‘zgarmas haqiqiy son) formula bilan berilgan funksiyaga о‘zgarmas funksiya deyiladi. Xossalari: 1) aniqlanish sohasi barcha haqiqiy sonlari tо‘plamidan iborat.

2) - juft funksiyalardir, grafigi abssissalar о‘qiga parallel va ordinatalar о‘qidagi nuqta orqali о‘tuvchi tо‘g‘ri chiziqdan iborat, xususan, funksiyaning grafigi OX – abssissalar о‘qidan iboratdir. 7 – chizmada funksiyalarning grafiklari tasvirlangan.
2⁰. Tо‘g‘ri proporsionallik.

formula bilan berilgan funksiyaga tо‘g‘ri proporsionallik deb aytiladi, bu yerda k soniga proporsionallik koeffitsiyenti deyiladi.

funksiyaning xosalari:

1. aniqlash sohasi barcha haqiqiy sonlar tо‘plami.

2. Toq funkitsiya

3. da butun son tо‘g‘ri chizig‘ida о‘sadi, da esa kamayadi.

tо‘g‘ri proporsionallikning grafigi koordinatalar boshidan о‘tuvchi tо‘g‘ri chiziqdan iborat. Haqiqatan, kordinatalar boshi va A(1,k) nuqta orqali tо‘g‘ri chiziq о‘tkazamiz (8-chizma) va bu tо‘g‘ri chiziq funksiyaning grafigi ekanini kо‘rsatamiz.

>0 bо‘lsin, L tо‘g‘ri chiziqda ixtiyoriy nuqtani olamiz OAA₁ va OMM, uchburchaklarning о‘xshashligidan.

ya’ni ni hosil qilamiz.

K<0 bо‘lganida ham shunday muxokama qilinadi. Demak, tо‘g‘ri

proporsional bog‘lanishning grafigi k>0 bо‘lganida I va II choraklarda, k<0 bо‘lganda esa II va IV choraklarda yotuvchi koordinatalar boshidan о‘tuvchi tо‘g‘ri chiziqdan iborat ekan.

Misol: funksiyaning grafigini yasang.

Y echish Bu funksiya grafigi koordinatalar boshidan о‘tuvchi k=2>0 ligi uchun I va III chorakda yotuvchi tо‘g‘ri chiziqdir. Uni yasash uchun grafikning koordinatalar boshidan tashqari boshqa biror nuqtasini topish hamda koordinatalar boshi va topilgan nuqtadan tо‘g‘ri chiziq о‘tkazish kifoyadir. Shunday nuqta sifatida A (1;2) nuqtani olamiz (chunki, bо‘lsa, bо‘ladi). 9 – chizmada funksiyaning grafigi tasvirlangan.

Mashqlar: Quyidagi funksiyalarning grafiklarini yasang:

a) b) v) g) d) ye)

3.⁰ Chiziqli funksiY. kо‘rinishdagi funksiyaga chiziqli funksiya

deyiladi, bu yerda k va v – о‘zgarmas haqiqiy sonlar.

Xususan, agar bо‘lsa, chiziqli funksiyadan о‘zgarmas funksiyani, agar bо‘lsa, tо‘g‘ri proporsionallikni hosil qilamiz.

chiziqli funksiyaning xossalari:

1. aniqlanish sohasi - о‘zgarish sohasi -

2. funksiya da toq ham emas, juft ham emas.

3 . funksiya da da esa da kamayadi, da doimiydir.

4. chiziqli funksiyaning gafigi tо‘g‘ri chiziqdan iborat bо‘lab, u funksiya grafigi bо‘lgan tо‘g‘ri chiziqqa parallel va ordinatalar о‘qining nuqtasi oraqali о‘tadi. k soni bu tо‘g‘ri chiziqning burchak koeffitsiyenti deyiladi, u shu tо‘g‘ri chiziq va о‘qning musbat yо‘nalishi orasidagi burchakning tangensiga teng, ya’ni ga tо‘g‘ri chiziqning dastlabki ordinatasi deyiladi. 10-Chizmada funksiya grafigi tasvirlangan.

Misol: funksiyaning grafigini yasang.

Y echilishi: chiziqli funksiyaning grafigi tо‘g‘ri chiziqdir, uni yasash uchun esa grafikning ikkita nuqtasini aniqlash yetarlidir. ga qiymat berib formuladan ni, ga mos esa ni ya’ni nuqtalarni topib ulardan о‘tuvchi tо‘g‘ri chiziqni yasaymiz, bu izlangan funksiyani grafikasi bо‘ladi

5. Chiziqli funksiyalarning grafiklarini о‘zaro joylanishi haqida.

Ikkita chiziqli funksiya berilsin: о‘zgarmas haqiqiy sonlar. Ravshanki, bu chiziqli funksiyalarning grafiklari tо‘g‘ri chiziqladan iborat bо‘ladi, ularning grafiklarini koordinatalar tekisligida о‘zaro joylanishi va sonlarga muhim bog‘liqdir. Agar bо‘lsa, bu tо‘g‘ri chiziqlar о‘zaro kesishadi. Agar bо‘lsa, tо‘g‘ri chiziqlar о‘zaro parallel bо‘ladi, xususan: agar va bо‘lsa, tо‘g‘ri chiziqlar ustma-ust tushadi, agar va bо‘lsa, tо‘g‘ri chiziqlar о‘zaro parallel va ustma-ust tushmaydi (12-chizma)

Mashqlar:

1. a) b) v) g) funksiyalarni grafigini yasang.

2. Agar chiziqli funksiya grafigi nuqtadan о‘tib:

a) funksiyaning grafigiga parallel bо‘lsa;

b) abssissa о‘qiga parallel bо‘lsa;

v) funksiyaga parallel bо‘lsa, uning formulasini toping, grafigini yasang.

6 |x|, funksiyalar, (bu yerda k,v va s – о‘zgarmas haqiqiy sonlar). Bilan tanishamiz.

Bu funksiyalarni о‘rganish uchun haqiqiy sonning absolyut qiymatining (modulining) ta’rifini eslash kifoY.

│x│= u holda

Misollarga murojaat etaylik.

1. |x|+2 funksiyaning grafigini yasang

Yechish.

natijada, funksiya- ning grafigi da va da ikkita chiziqli funksiya grafiklarining qismlaridan iborat bо‘ladi. (13-chizma)

2. funksiyaning grafigini yasang.

Y echilishi:

bu funksiya grafigi agar va agar chiziqli funksiyalarning grafiklarining qismlaridan tashkil topadi. (14-chizma).

3. |x+2|-3 funksiyaning grafikasi 15 – chizmada tasvirlangan, chunki,

|x+2|-3

Mashqlar:

1. a)

funksiyalarning grafigini yasang.

4.⁰ Teskari proporsionallik.

formula bilan berilgan funksiyaga teskari proporsionallik deyiladi, k soniga teskari proporsionallik koeffitsiyenti deyiladi . funksiyaning xossalari.

1. Aniqlash sohasi о‘zgarish sohasi

2). Toq funksiY.

2. Agar bо‘lsa, funksiya va oraliqlarda kamayadi, agar bо‘lsa, funksiya va oraliqlarda о‘sadi.

funksiyaning grafigi ikki tarmoqdan iborat egri chiziqdir, bu egri chiziqni giperbola deb ham ataladi. Agar bо‘lsa, teskari proporsionallik grafigi tarmoqlari II va IV choraklarda, bо‘lgan holda esa I va III choraklarda joylashadi. Misol sifatida funksiya grafigini yasashni qaraylik. Avvalo grafikning oraliqdagi tarmog‘ini yasaymiz. Funksiyaning qiymatlari jadvalini tuzamiz:

	. . .			1	2	4	. . .
	. . .	4	2	1			. . .

Hosil qilingan . . . , nuqtalarni koordinata tekisligiga yasab va ularni silliq egri chiziq bilan tutashtiramiz (16 – chizma). Bu funksiya grafigining oraliqdagi tarmog‘i bо‘ladi. funksiyaning toqligidan foydalanib, yasalgan tarmoqqa unga koordinatalar boshiga nisbatan simmetrik bо‘lgan tarmoqni qо‘shsak, natijada funksiya grayafigini hosil qilamiz.

Mashq.

a) b) v)

funksiyaning grafigini yasang.

Foydalanilga adabiyotlar

1. 
   WWW.aim.uz
   
2. 
   WWW.Referat.uz
   
3. 
   WWW.google.com
   
4. 
   WWW.Kutibxona.com
   
5. 
   WWW.arxiv.uz