Mavhum birliklarning ifodalanishi. Kompleks sonlar algebrasidagi mavhum birliklar kabi kvaternionlar algebrasidagi mavhum birliklar algebrada 2 2 - matritsa ko’rinishini qabul qiladi , bu yerda haqiqiy birlik rolida diagonally birlik matritsa
E bo’ladi.
Agar ixtiyoriy komponentlar a, b, c, d, e, f bo’lgan ikki matritsadan
,
Mavhum birlik tuzilsa
=-
Ularning ko`paytmasi
Ham mavhum birlik biroq ko`paytma matrissasining izi ham nolga teng shart ostida
2ad + bf + ec = 0 .
Agar ij=k orqali ifodalansa, bu yo’l bilan topilgan i, j, k matritsalar E birlik bilan kvaternion birliklar ko’paytmasi jadvalini qanoatlantirishini tekshirish qiyin emas. Bunday matritsalar uchligiga oddiy misol ma’lum Paul matritsasiga proporsionallar (-i ko’paytuvchi bilan )
Kvaternion birliklarning boshqach ifodalanishini ham taqdim etish mumkin. Xususiy holda mavhum birlikning oxirgi berilishlarini matritsa bilan almashtirish mavhum kvaternion birliklarni 4x4 – matritsalarning barcha haqiqiy komponentlari orqali ifodalanishga olib keladi. Kvaternionlarning xossalarini o’rganish uchun aniq ifodaning ko’rinishi shart emas, lekin, masalan kvaternionlar ustidagi amallarni aniqlashda odatda ularning barchasi bir kvaternion birlik ustida tuzilgan deb hisoblanadi, ya’ni ko’riladigan barcha sonlar uchun bir birlik ko’rinish o’ylanadi: agar u o’zgarsa, bu hol darhol barcha sonlar uchun
Kvaternionning qo’shmasini topish amali . Kompleks sonlar kabi kvaternionlarning ham qo’shmasini toppish amali kiritilgan. Har qanday q = a + bi + cj + dk kvaternion uchun qo’shma sifatida quyidagi kvaternionni mos qo’yish mumkin:
= a - bi - cj - dk .
Kvaternion qo’shmasini toppish amali orqali uning skalyar va vector qismlarini ajratish mumkin
Xususiy holda, shu tufayli kvaternionlar algebrasi “to’rt kvadrat ayniyati”ga keltiriladi. Kvaternion sonni uning qo’shmasiga ko’paytmasi haqiqiy sondir; bu sondan arifmetik kvadrat ildizni kvaternion moduli deb ataladi. Kvaternion moduli kvadrati uning normasi deyiladi bu yerdan berilgan kvaternionga teskari kvaternionni topish formulasini keltirib chiqarish mumkin
