Matematika-informatika fakulteti 22. 06-guruh talabasi Mansurova Kamola Xamidullo qizining Algebra fanidan

Giperkompleks sonlar.
Kompleks sonlarni umumlashtirish natijasida paydo boʻladigan sonlar. x=xl+x2i kompleks sonni tekislikning (x,; x2) nuqtasi bilan ayniylashtirish mumkin. Kompleks sonlar uchun qoʻshish, koʻpaytirish va b. algebraik amallar oʻzlarining odatdagi xossalari bilan oʻrinli boʻlgani uchun tekislik nuqtalari sonlar sifatida qaraladi. Shuningdek, ixtiyoriy p oʻlchovli M fazo, yaʼni p oʻlchovli vektorlar fazosi x = x,yo, +... + xayoa, bunda {yop} — biror bazis vektorlari, xv..., xp lar esa haqiqiy sonlar (z koordinatalari) algebralashtiriladi. Buning uchun vektorlarni koʻpaytirish amalinigi-na kiritish kerak, chunki bu vektorlarni qoʻshish amali M da aniqlangan. Bunday koʻpaytirish assotsiativ (qarang Assotsiativlik) boʻlishi shart, ammo kommutativ boʻlishi shart emas.
A fazo unda kiritilgan koʻpaytirish amali bilan birgalikda giperkompleks sistema, uning elementlarini esa giperkompleks sonlar deyiladi. Vektorlarni koʻpaytirish turli usullar bilan tuziladi, buning uchun yeR ye koʻpaytmanigina berish kifoya. Oddiy kompleks sonlardan farqli ravishda G.s.lar uchun umumiy holda boʻlish amali aniqlanmagan. G. s.lar sistemasining uchta turi (tipi)gina mavjudligi, bu sistemalarning har birida boʻlish amali doimo bajarilishi isbotlangan. Bu sistemalar: haqiqip sonlar, kompleks sonlar va kvaternionlar. G. s. mat.ning koʻp sohalarida, mexanika va fizikada qoʻllaniladi.


XULOSA
Xulosa qilib shuni aytish mumkinki, kompleks sonlarning matematikaning turli sohalariga xilma-xil tatbiqlari mavjud. Bular ishning ikkinchi bobining paragraflarida keltirib o‘tildi. Kompleks sonlarning trigonometrik va geometrik hattoki ko‘rsatkichli shakllari ustida bajariladigan amallar, cosn va sinn larni cos va sin larning darajalari orqali ifodalash va aksincha cos va sin larning n-darajalarini cosn va sinn orqali ifodalash shular jumlasidandir.
Kompleks sonlаr mаydonining qurilishi bilаn uning hаm kengаytmаsi bormi, degаn nаzаriy sаvol kelib chiqishi tаbiiy, аlbаttа. Bu sаvolgа jаvob berish uchun kompleks sonlаr mаydoni hаqiqiy sonlаr mаydoni ustidа o‘lchovi 2 gа teng bo‘lgаn аlgebrа ekаnligidаn foydаlаnilаdi.
Sonli sistemalar ichida R-haqiqiy sonlar to‘plami juda mukammaldek ko‘rinadi, lekin,bu to‘plamda har qanday musbat darajali haqiqiy koeffitsientli ko‘phad aqalli bitta ildizga ega bo‘ladi, deb aytish mumkin emas. Lekin, haqiqiy sonlar maydonining kengaytmasi hisoblangan kompleks sonlar maydonida har qanday musbat darajali haqiqiy koeffitsientli ko‘phad aqalli bitta ildizga ega bo‘ladi. SHu bilan birga kompleks sonlar sistemasini qurish uchun haqiqiy sonlar maydonidagi asosiy xossalardan biri - chiziqli tartiblangan maydon bo‘lish xossasini bajarilmasligini ta’kidlaymiz, ya’ni haqiqiy sonlar maydonining chiziqli tartiblangan (o‘zidan boshqa) kengaytmasi mavjud emas.
Kompleks sonlar maydonining qurilishi bilan uning ham kengaytmasi bormi, degan nazariy savol kelib chiqishi tabiiy, albatta. Bu savolga javob berish uchun kompleks sonlar maydoni haqiqiy sonlar maydoni ustida o‘lchovi 2 ga teng bo‘lgan algebra ekanligidan foydalaniladi. (A to‘plam biror R maydon ustida algebra tashkil etishi uchun A to‘plam halqa bo‘lishi va R maydon ustida chiziqli fazo bo‘lishi hamda har qanday a, b A va R lar uchun ( a b)=( a) b= a ( b) shart bajarilishi kerak)
Agar algebraning ixtiyoriy a, b (a 0) elementlari uchun ax=b, ya=b ko‘rinishdagi tenglamalar yechimga ega bo‘lsa, bunday algebrani bo‘linishga ega bo‘lgan algebra deyiladi. Haqiqiy sonlar maydoni o‘zi ustida o‘lchovi 1 ga teng bo‘lgan algebra bo‘lsa, kompleks sonlar maydoni haqiqiy sonlar maydoni ustida o‘lchovi 2 ga teng bo‘lgan bo‘linishga ega bo‘lgan algebra tashkil etadi. Kompleks sonlar maydoni ustida bo‘linishga ega bo‘lgan o‘lchovi chekli algebra faqat kompleks sonlar maydoni bo‘lishi mumkinligi isbotlangan. Demak, haqiqiy sonlar maydonining kengaytmalarini faqatgina uning o‘lchovini oshirish orqaligina qurish mumkin, degan ulova kelib chiqadi. Lekin, haqiqiy sonlar maydoni ustida bo‘linishga ega, o‘lchovi 3 ga teng bo‘lgan algebra mavjud emasligi, o‘lchovi 4 ga teng bo‘lgan faqat kvaternionlar algebrasi bo‘lishi isbotlangan. Lekin, kvaternionlar algebrasi kommutativ bo‘lmagan algebra bo‘ladi. O‘lchovi 5 yoki undan yuqori bo‘lgan bo‘linishga ega algebralar mavjud emasligi ham aniqlangan. Bu fikrlar barchasi Frobenius teoremasidan kelib chiqadi.