Matematika-informatika fakulteti matematika kafedirasi

3.Fuksiya hosilasi va uning funksiya tatbiqi.
3.1.Funktsiyaning maksimum va minimumini hosila yordamida tekshirish.
Аrgumentning funktsiya eng katta qiymatga ega boʼladigan qiymati funktsiyaning maksimum nuqtasi deyiladi. Аrgumentning funktsiya eng kichik qiymatga ega boʼladigan qiymati funktsiyaning minimum nuqtasi deyiladi. Funktsiyaning maksimum nuqtasi funktsiyaning oʼsishdan
kamayishga oʼtishida chegaraviy nuqta hisoblanadi, mos ravishda funktsiyaning minimum nuqtasi uning kamayishdan oʼsishgz oʼtishida chegaraviy nuqta hisoblanadi.
Funktsiyaning maksimumi va minimumi terminlari bitta terminga birlashtirilib, funktsiyaning ekstremumi deyiladi. Funktsiya bir nechta ekstremumga ega boʼlishi mumkin, shu sababli ekstremum nuqtalar unga qushni bulgan nuqtalarga nisbatan qaraladi.
Аgar a ga yetarlicha yaqin boʼlgan barcha x nuqtalarda (a)> {x} tengsizlik bajarilsa, y= (x) funktsiya x = a nuqtada maksimumga ega boʼladi.
Аgar a ga yetarlicha yaqin boʼlgan barcha x nuqtalarda (a)< (x) tengsizlik bajarilsa, y= (x) funktsiya x=a da minimumga ega boʼladi.
y= (x) funktsiya maksimumining yetarli sharti.

Аgar
1) (a) = 0;

2 ) x < a da '(x) > 0;
3) x > a da '(x) < 0 bo’lsa,
y= (x) funktsiya x = a da maksimumga ega boʼladi, y= (x) funktsiya maksimumining yetarli sharti.
Аgar
1) G (a) = 0;
2 ) x < a da ' (x) < 0;
3 ) x > a da '(x) > 0 boʼlsa,
y= (x) funktsiya x = a da minimumga ega boʼladi. (x)= 0 boʼladigan x = a nuqta (x) funktsiyaning statsionar nuqtasi deyiladi.
Аgar funktsiya hosilaga ega boʼlsa uning ekstremumini statsionar nuqtalarda izlash kerak.
y= (x)funktsiyaning maksimum va minimumini birinchi tartibli hosila yordamida tekshiring qoidasi.
I. Berilgan funktsiyaning y'= '(x) hosilasi topiladi.
II. Topilgan xosila nolga tenglanadi: '(x) =0; : ' (x)=0 tenglama yechiladi, yaʼni uning haqiqiy ildizlari (statsionar nuqtalar) topiladi: : .
III. Topilgan ildizlarni ortib borish tartibida joylashtiriladi. '(x) hosilani koʼpaytuvchilarga yoyiladi va unga ildiz oʼrniga , dan kichikroq son qoʼyilib, hosilaning ishorasi topiladi, soʼngra oʼrniga dan kattaroq (lekin albatta dan kichik) son qoʼyilib, yana hosilaning ishorasi topiladi.
Аgar bunda:
1) hosila ishorasini (+) dan (-) ga oʼzgartirsa, y= (x) funktsiya x = x, da maksimumga ega boʼladi;
2) hosila ishorasini (-) dan (+) ga oʼzgartirsa, y=f(x) funktsiya x = , dan minimumga ega boʼladi;
3) hosila ishorasi oʼzgarmasa, funktsiya y= da minimumga ham, maksimumga ham ega boʼlmaydi.
Soʼngra (x) hosilaning ishoralarini x< va x> uchun va shu tartibda xar bir ildiz uchun topiladi.
IV. Funktsiyaning maksimal va minimal qiymatlari topiladi. Buning uchun funktsiyaning qiymatlari statsionar nuqtalarda (maksimum va minimum nuqtalarda) hisoblanadi.
V. Egri chizikning grafigi nuqtalar (funktsiyaning maksimum va minimum nuqtalari, egri chizikning Ox va Oy o’qlar bilan kesishish nuktalari) buyicha yasaladi.
Funktsiyaning maksimum va minimumini tekshiring.
Yechilishi. 1. Berilgan funktsiyaning hosilasini topamiz: у' = 2х — 4.
2. Hosilani nolga tenglaymiz: 2х-4 = 0 va bu tenglamani yechib, x = 2 statsionar nuqtani topamiz.
3. Hosilani koʼpaytuvchilarga ajratamiz: у' = 2х — 4 =2(х — 2). х < 2 ni (2 dan kichikroq) olamiz va x ning bu qiymatini (masalan, 1,9 ni) у' 2( х-2) hosilaga xayolda (ogʼzaki) qoʼyamiz va x < 2 da hosile ishorasini topamiz. Hosila manfiy ishoraga ega, uni qisqacha bunday yozamiz: .Endi x > 2 ni (2 dan kattaroq) olamiz va yana xayolan; x ning bu qiymatini (masalan, 2,1 ni) у'= 2(х — 2) hosilaga qoʼyib, hosilaning x > 2 dagi ishorasini topamiz, hosila musbat ishoraga ega, uni bunday yozamiz: =(+). Hosila ishorasini (—) dan (+) ga oʼzgartiryapti, demak, funktsiya x=2 da minimumga ega.
4. Funktsiyaning minimal qiymatini topamiz; buning uchun berilgan funktsiya ifodasiga x = 2 qiymatni qoʼyamiz: . 2= -4
5. funktsiyaning grafigini yasaymiz. Аrgumentning qiymatlari va funktsiyaning unga mos qiymatlari jadvalini tuzamiz:

Х	0	2	4
У	0	-4	0
		Funktsiya minimum	Ox o’q bilan kesishish nuqtasi

Bu nuqtalarni yasab, parabolani hosil qilamiz
.
Funktsiyaning minimum nuqtasi (2; — 4) parabolaning uchidir. Kelgusida parabolaning uchini kvadrat funktsiyaning maksimumi yoki minimumi sifatida topishimiz mumkin.
Misol. .
Yechilishi . 1). у' = 6 — 18х + 12; 2) 6 — 18x+12 = 0, — Зх + 2 = 0; ,
; 3) у' 6(х — 1) (х — 2).
a) kritik nuqtani tekshiramiz: ; .
Hosila ishorasini (+) dan (—) ga oʼzgartiryapti, demak,
funktsiya x =1 da maksimumga ega.
b) kritik nuqtani tekshiramiz: ; .
Hosila ishorasini (-)dan (+) ga uzgartiryapti, funktsiya x = 2 da minimumga ega;
4) ;
5) Ushbu nuqtalar egri chizik, grafigining nuqtalari boʼladi;

X	0	1	2
Y	-8	-3	-4
	Oy oʼq bilan kesishish nuqtasi	Fuktsiyaning maksimumi	Fuktsiyaning minimumi