Matematika-informatika fakulteti matematika kafedirasi

2.1.Funktsiyaning o’sishi va kamayishi.Аgar y= (x) funktsiyaning siymatlari (a, b) intervalda x o’sishi bilan o’sib borsa, u holda bu funktsiya x ning oʼzgarish intervali (a, b) da o’suvchi funktsiya deyiladi. Аgar y= (x) funktsiyaning kiymatlari (a, b) intervalda x o’sishi bilan kamayib borsa, u holda bu funktsiya x ning o’zgarish intervali (a, b) da kamayuvchi deyiladi. Bu intervallar monoton o’zgarish intervallari deyiladi.
Funktsiyaning oʼsish va kamayish alomatlari
Аgar berilgan funktsiyaning xosilasi x ning (a, b) intervaldagi barcha kiymatlari uchun musbat bo’lsa, u xolda funktsiya bu intervalda oʼsadi.
Аgar berilgan funktsiyaning hosilasi x ning (a, b) intervaldagi barcha qiymatlari uchun manfiy bo’lsa, u holda funktsiya bu intervalda kamayuvchi boʼladi.
Funktsiyalarning o’sish va kamayish intervallarini toping.
Misol-1.
Yechilishi. Berilgan funktsiyaning hosilasini topamiz: у' = 2х — 8.
Berilgan funktsiyaning hosilasi kamayish intervalida manfiy, o’sish intervalida musbat, shuning uchun kuyidagi tengsizliklarni yechamiz:
1) 2х — 8 < 0, 2х < 8, х < 4, yaʼni x ushbu (- ; 4) intervalda oʼzgaradi; bu intervalda funktsiya kamayadi;
2) 2х — 8 > 0, х > 4, yaʼni x ushbu (4; + ) intervalda oʼzgaradi; bu intervalda funktsiya oʼsadi.

Misol-2. .

Yechilishi . Berilgan funktsiyaiing xosilasiny topamiz: у' = . Kamayish intervalini topish uchun <0 tengsizlikni yechamiz:
; D=16 > 0; =0 tenglamaning ildizlari: = 0, = 4. Tengsizlik x ning (0,4) intervaldagi barcha qiymatlari uchun toʼgʼri. Demak, (0,4) intervalda funktsiya kamayadi. Oʼsish intervalini topamiz: > 0 , > 0. Tengsizlik (- ; 4) va (4; + ) intervallardagi barcha haqiqiy qiymatlar uchun o’rinlidir. Bu intervallarda funktsiya oʼsadi.


2.2.Funksiyaning monotonlik intervallari. Funksiyaning o’sishi yoki kamayishi mumkin bo’lgan intervallar monotonlik intervallari deyiladi. Berilgan intervallarda funksiya monotonligini hosila yordamida qanday aniqlash masalasini qaraymiz. Dastlab funksiya monotonlik intervalini aniqlashning zaruriy shartini aniqlaymiz.