Matematika-informatika fakulteti

Kurs ishining maqsadi. Ushbu kurs ishini yozishda algebraik tenglamalar analitik va sonli yechish usullari yordamida matematik yechish, aniq amaliy masalalarda bu jarayonni ko’rsatish, masalani yechishning algoritmi yaratish ko’zda tutilgan.
Kurs ishining vazifalari. Algebraik tenglamalar taqribiy yechish usullari o’rganiladi. Usullar bir qancha misollarda ko’rsatiladi va misollarni yechish algoritmi ko’rsatiladi.
Kurs ishining ob’ekti va predmeti. Algebraik tenglamalar kurs ishining tadqiqot obyektidir. Ushbu ishda algebraik tenglamalar sistemasini analitik va taqribiy yechish masalasi qaraladi. Quyida masalaning qo’yilishi va uni yechishning ketma-ket algoritmi keltirilgan.

I BOB. ALGEBRAIK VA TRANSENDENT TENGLAMALAR, ULARNI YECHISHNING GEOMETRIK TALQINI

Har xil obyektlarni modellar yordamida tadqiq qilishning ko‘pgina masalalari chiziqli bo‘lmagan tenglamalarni yechishga olib kelinadi. Xususan, elektron, radioelektron va hisoblash texnikasi qurilmalarini tadqiq qilishda, tebranishlar nazariyasi, suyuqlik va gaz mexanikasi, kimyo-texnologiya va boshqa sohalar masalalarini modellar yordamida yechishda ana shunday amliy masala yuzaga keladi. Quyida chiziqli bo‘lmagan tenglamalarni yechish usullari bilan tanishamiz.

1.1-§. Algebraik va transendent tenglamalar haqida dastlabki tushunchalar

Dastlabki tushunchalar. Ushbu chiziqli bo‘lmagan tenglamaning ildizini (ildizlarini) topish talab etiladi.
Agar f(x) funksiya ko‘phad bo‘lsa, u holda tenglama n–darajali algebraik tenglama deb ataladi, ya’ni

bunda – berilgan ko‘phadning koeffisiyentlari. Boshqacha aytganda, algebraik tenglama deb algebraik (butun, ratsional, irratsional) funksiyalardan tashkil topgan tenglamaga aytiladi.
Darajasi to‘rtdan yuqori bo‘lgan algebraik tenglamalar uchun uning ildizlarini koeffisiyentlari orqali ifodalovchi aniq formula mavjud emas. Algebraik tenglama ildizlari sonini ko‘phadning darajasiga qarab, ularning xarakterini esa shu ko‘phad koeffisiyentlarining ishorasiga qarab aniqlash mumkin. Quyiroqda n–darajali algebraik tenglama, ya’ni ko‘phadning ildizlari haqida kengroq tushunchalar berilgan.
Algebraik bo‘lmagan har qanday tenglama transendent tenglama (transendent funksiyalar: ko‘rsatgichli, logarifmik, trigonometrik, teskari trigonometrik va boshqa funksiyalarni o‘z ichiga olgan tenglama) deb ataladi. Kamdan kam hollardagina transendent tenglamalar ildizlarining aniq qiymatini topish mumkin. Transendent tenglamalar birorta ham haqiqiy ildizga ega bo‘lmasligi, chekli yoki cheksiz sondagi ildizlarga ega bo‘lishi mumkin.
Shularga ko‘ra tenglamaning taqribiy ildizlarini topish usullari va ularning aniqlik darajasi muhim ahamiyatga ega.
Shunday qilib, algebraik va transendent tenglamalar ikki turga bo‘linadi: chiziqli (bitta yechimli) va chiziqli bo‘lmagan (bir yoki bir nechta yechimli) tenglamalar. Chiziqli bo‘lmagan tenglamalar esa: algebraik (yechimlari n ta) va transendent (yechimlari soni noma’lum) tenglamalarga bo‘linadi (1.1-rasm).



1.1-rasm.Tenglamlar klassifikatsiyasi
Chiziqli bo‘lmagan tenglamalarni yechish usullari ikki turga bo‘linadi: to‘g‘ri (yoki analitik) va taqribiy (iteratsion) usullar. Analitik usulda tenglamaning barcha yechimlari chekli sondagi operatsiyalarda (yoki formulalar) orqali aniqlanadi. Masalan, shu usulga ushbu – kvadrat tenglamaning yechimlarini topishni misol qilib keltirish mumkin. Bu tenglamaning yechimlari quyidagicha:

Chiziqli bo‘lmagan tenglamalarni yechish bir necha bosqichga bo‘linadi: ildizlarning mavjudligini, sonini, xarakterini va ularning joylashishini tekshirish; ildizlarni ajratish; ildizlarning taqribiy qiymatlarini topish, ya’ni tenglamaning yagona ildizi mavjud bo‘lgan yetarlicha kichik [a,b] kesmani aniqlash (dastlabki yaqinlashuvchi ildiz); ildizlarning barchasini yoki ularning bir qismini talab qilingan aniqlikda topish.
Dastlabki uchta bosqichda analitik yoki grafik usuldan (ba’zida tadqiqot obyekti yoki hodisaning fizik ma’nosidan) foydalanish mumkin. Bunda quyidagi holatlar kuzatiladi: ildiz yagona; cheksiz ko‘p yechimlar; ildiz yo‘q; bir nechta yechimlar mavjud bo‘lib, ulardan ba’zilari haqiqiy, ba’zilari esa mavhum; ildizlar karrali; ildizlar bir biriga juda yaqin va dastlabki yaqinlashishni topish murakkab.
Oxirgi bosqichda esa biror taqribiy (iteratsion) usuldan foydalaniladi, bunda dastlabki tenglamaning ildizini topish juda murakkab bo‘lgan holda bu tenglama uning ildiziga teng yoki unga juda ham yaqin joylashgan ildizli sodda tenglamaga ham almashtirilishi (masalan, transendent tenglamani algebraik tenglamaga almashtirish) mumkin.