Matematika-informatika fakulteti

2.1-§. Algebraik va transendent tenglamalarni oddiy iteratsiya usuli bilan yechish

(1) koʻrinishda, ya’ni

tenglamani unga ekvivalent boʻlgan
(2)
tenglama bilan almashtiramiz. (1) koʻrinishdagi tenglamani hamma vaqt (2) koʻrinishga keltirish mumkin, masalan (1) ni
(3)
koʻrinishda yozib olish mumkin, bunda .
Tenglama yechimi yotgan biror oraliqda sonni olib quyidagi sonli ketma-ketlikni tuzamiz:
(4)
(4) koʻrinishdagi ketma-ketlik yordamida sonni topish oddiy iteratsiya (ketma-ket yaqinlashish) usuli deyiladi.
Agar tenglama yechimi yotgan biror oraliqda va har galdagi - ketma-ketlik uchun uzluksiz - hosila mavjud boʻlib,

shart oʻrinli boʻlsa, u holda (4) iteratsiya jarayoni yaqinlashuvchi boʻladi, ya’ni n ning ortishi bilan (1) tenglamaning x*- haqiqiy yechimidan deyarli kam farq qiladigan taqribiy yechimni hosil qilish mumkin. Yaqinlashish tezligi quyidagi tengsizlik orqali ifodalanadi:
(5)
(5) tengsizlikdan ma’lumki, oddiy iteratsiya usulining yaqinlashish tezligi bevosita q miqdorga bog’liq, ya’ni q miqdor qanchalik kichik boʻlsa, (4) ketma-ketlik shunchalik tez yechimga yaqinlashadi. Agar boʻlsa, (5) munosabat oʻrniga yetarlicha oddiy

tengsizlikdan foydalanish mumkin. Shu bois, (1) tenglamani (2) koʻrinishga keltirish uchun ni shunday almashtirish lozimki, hosila , yechim atrofida absolyut qiymati boʻyicha yetarlicha kichik boʻlishi kerak, bunga odatda (3) da k parametrni tanlash orqali erishish mumkin.

2.2-§. Algebraik va transendent tenglamalarni urinmalar (Nyuton) usuli bilan yechish

Agar

tenglamani yechishda boshlang’ich yaqinlashish yetarlicha yaxshi tanlansa, u holda yechim aniqligini oshishi jihatidan boshqa taqribiy usullar orasida urinmalar (Nyuton) usuli ustunligi bilan e’tiborga molikdir.
Aytaylik, funksiya biror oraliqda aniqlangan va ikki marta differensiallanuvchi boʻlsin va oraliqning chetki nuqtalarida har xil ishorali qiymatlar qabul qilsin ( yechim mavjudligi sharti), ya’ni



va hosilalar oraliqda ishorasini oʻzgartirmasin. funksiya grafigiga va lar hosila ishoralari bir xil boʻlgan oraliqning chetki nuqtasidan urinma oʻtkazamiz. Ma’lumki, u holda urinma tenglamasi
, agar bo’lsa
yoki
agar bo’lsa
bo’ladi.
Urinmaning absissa oʻqini kesib oʻtuvchi nuqtasini topamiz. y=0 deb olsak, u holda
agar bo’lsa,
yoki
agar bo’lsa,
birinchi yaqinlashishga ega boʻlamiz. Bu yaqinlashishdan foydalanib, navbatdagi yaqinlashishlarni topish mumkin. Navbatdagi yaqinlashishlar umumiy holda quyidagi formuladan topiladi:

Hisoblash jarayoni

tengsizlik bajarilgunga qadar davom ettiriladi, bunda , - birinchi hosilaning absolyut qiymati jihati boʻyicha ( ) oraliqdagi eng kichik qiymati: - ikkinchi hosilaning oraliqdagi absolyut qiymati boʻyicha eng katta qiymati: - yechimning absolyut xatoligi.