Matematika kafedrasi Yakupov Qahramon Maxsetbayevichning
Yüklə 1,33 Mb. Pdf görüntüsü
|
|
Ta’rif-10. G da aniqlangan biror U(x) funksiya berilgan bo’lsin. Agar
nuqtalar va 0 son uchun
tengsizlik bajarilsa funksiyani da ko’rsatkich bilan Lipshits shartini qanoatlantiradi deyiladi va kabi belgilanadi. Tabiiyki > 1 bo’lganda bo’ladi shuning uchun ham odatda 0< 1 deb hisoblaymiz <1 ko’rsatkichli Lipshits shartni ba’zida Gyolder sharti deb ham yuritamiz. Ω sohaning qariyib hamma joyida aniqlangan funksiya Ω da joylashgan ixtiyoriy kompaktda jamlanuvchi bo’lsa, bunday funksiyani Ω da local jamlanuvchi funksiya deymiz. Bu xildagi funksiyalar to’plamini orqali belgilash qabul qilingan.
da
(Ω’⊂Ω ixtiyoriy soha osti) munosabat bajarilsa.
Ta’rif-11. – uzliksiz funksiya bo’lsin. Bu funksiya noldan farqli bo’lgan nuqtalar to’plamining yopig’iga shu funksiyaning tashuvchisi (nositel) 16
deyiladi va simvol bilan belgilanadi. Shubhasiz hosilaning tashuvchisi funksiya tashuvchisiga tegishli bo’ladi. Shuningdek ekvivalent funksiyalar deganda bir – biridan nol o’chovli to’plamdagina farq qiladigan funksiyalarni tushunamiz.
fazoda har bir nuqtasida normalga ega sirtni qaraymiz. bo’lsin. Koordinatalar boshi nuqta bilan ustma-ust tushuvchi hamda o’qi nuqtadan o’tuvchi normal bo’yicha yo’nalgan dekart koordinatalar sistemasini nuqta bilan bog’langan mahalliy koordinatalar sistemasi deymiz. Agar shunday d>0 son topilib, markazi nuqtada bo’lgan d radiusli sfera G chiziqdan (sirtdan) ajratgan uchastkasi nuqta bilan bog’langan koordinatalar sistemasida
tenglama bilan berilib hamda k tartibgacha uzliksiz hosilalarga ega bo’lsa deymiz. bo’lib f ning k-tartibli hosilasi (0< ≤1) korsatkich bilan Lipshits shartini qanoatlantirib va Lipshits shartidagi A o’zgarmas va ko’rsatkich dan bog’liq bo’lmasa, deb yozamiz. kassdagi sirtlarni Lyapunov sirtlari deymiz. A biror operator bo’lsin. D(A) orqali A operatorning aniqlanish sohasini R(A) orqali esa qiymatlar to’plamini belgilaymiz. Tartiblangan m ta manfiymas butun sonlar ketma- ketligini m tartibli multindeks deymiz.
songa shu multideksning uzunligi deyiladi. Multindekslar ustida qo’shish va manfiymas butun songa ko’paytirish amallari odatdagidek o’rnatiladi. Agar n – manfiymas butun son va
birxil m tartibli multindekslar bo’lsa, u holda
lar ham yana m tartibli multindekslar bo’ladi. Agar vektor bo’lsa
kabi xuxusiy holda x ning nuqtasi bo’lsa, kabi yozish va tushunish kerak bo’ladi. Shuningdek Biz ko’pincha
belgilashdan foidalanamiz. 17
X koordinata bo’yicha diffrensiallash amali bajarilayotganini ta’kidlash uchun yozuvni ham ishlatamiz.
2. O’rtalovchi yadro.
fazoning ixtiyoriy nuqtalari va h-ixtiyoriy musbat son bo’lsin.
Tarif-12. Agar 1) funksiya x va y dekart koordinatalar bo’yicha cheksiz ko’p marta diffrensiallanuvchi bo’lsa;
shartlar bajarilsa funksiyani o’rtalovchi yadro deymiz. Quyidagi funksiya hech bo’lmaganda bitta shunday yadro mavjudligiga kafolat beradi:
2) Xossa o’rinli bo’lishligiga shubha yo’q. 3) Xossaning bajarilishi uchun
deb olinsa kifoya. Endi 1) shartning bajarilishini ko’rsatamiz. (3.1) funksiyaning
va
bo’lgan hollarda cheksiz ko’p marta diffrensiyallanuvchi ekanligini tekshirib ko’rish qiyin emas va bo’lganda barcha hosilalar nolga teng bo’ladi. Shuning uchun ham bo’lganda (3.1) funksiyaning barcha hosilalari mavjud va nolga teng, ya’ni bo’lgandagi barcha hosilalar
da nolga intilishini ko’rsatish yetarli. Isbotni birinchi tartibli hosila uchun keltiramiz, yuqori tartibli hosilalar uchun tekshirish o’xshash bo’ladi. 18
a) funksiya da uzliksiz. Haqiqatdan ham (3.1) dan
Chunki
b)
ning hosilasi mavjud va nolga tengligini ko’rsatamiz. Haqiqatan ham.
Bu holda, shuningdek
Bunga hech bo’lmaganda Lopital qoidasidan kelib chiqib ham ishonish mumkin. Shunday qilib hosila mavjud va nolga teng:
qaysiki yana Lopital qoidasi bilan osongina tekshiriladi. Shunday qilib hosila mavjud va barcha r lar uchun uzliksiz. Xuddi shunday ikkinchi va undan yuqori tartibli hosilalar mavjud hamda uzliksizligini ko’rsatish qiyin emas.
3). O’rta funksiyalar. Ω to’plam fazoning chekli sohasi, U(y) Ω da jamlanuvchi funksiya bo’lsin. Bu funksiyani Ω dan tashqarida nolga teng qilib davom ettiramiz. X
fazoning ixtiyoriy nuqtasi bo’lsin, shuningdek 1) - 3) xossaga ega biror o’rtalovchi yadro bo’lsin:
19
funksiyani qaraymiz. ni U ga nisbatan o’rta funksiya, h sonni o’rtalash radiusi deymiz. O’rta funksiyani quyidagi uchta formada berish mumkin. 1)
butun fazo bo’yicha olish mumkin, u holda
2) O’rtacha yadroning 2- xossasini hisobga olib, integrallashni butun fazo bo’yicha emas balki h radusli shar bo’yicha olib borilsa ham bo’ladi
3) Nihoyat integrallashni faqat kesishma boyicha ham amalga oshirish mumkin, chunki bu kesishmadan tashqarida yoki birinchi ko’paytuvchi yoki ikkinchi ko’paytuvchi nolga aylanadi. Shuning uchun
4). O’rta funksiyaning ba’zi xossalari.
1. O’rta funksiya butun fazoda cheksiz ko’p marta diffrensiallanuvchi uning hosilalarini (3.3) – (3.3d) fo’rmulalardan istalgan birida integral belgisi ostida diffrensiallash mumkin.
bu yerda a ixtiyoriy m tartibli multindeks Ω sohani ,
sohalarning istalgan biri bilan almashtirish mumkin. 2. O’rta funksiya Ω sohagacha masofasi h dan kam bo’lmagan barcha nuqtalarda nolga aylanadi. Haqiqatdan r 20
tashqarisida joylashgan bo’ladi., va integral belgisi ostida (3.3b) dagi . Shunday qilib, o’rta funksiya quyidagicha tuzulgan sohadagina aynan noldan farqli bo’ladi; har bir x∈Ω nuqtani markaz qilib h radiusli shar yasaymiz, xuddi shunday sharlar birlashmasini deb olamiz: tabiiyki bo’ladi; agar masalan Ω R radiusli shar bo’lsa, Ω bilan konsentrik bo’lgan radiusli shardir. 3. Agar
bo’lsa, u holda o’rta funksiya intilish Ω sohaning ixtiyoriy qismida tekis bo’ladi. Bu tasdiqni isbotlash o’rta funksiyaning va o’rtalovchi yadroning xossalaridan fiodalanib amalga oshiriladi.
21
2-bob. Umumlashgan funksiyalar va ularni diffrensiallash. 4. 1. Umumlashgan funksiya tushunchasi.
1. Asosiy funksiyalar. Funksiya tushunchasining klassik ta’rifi ramkasida aniqlab bo’lmaydigan funksiyalarni singulyar funksiyalar deb atab kelinadi. Dirakning “ - funksiya” si ham shular jumlasidandur har bir singulyar funksiya yetarlicha “ yaxshi “ funksiyalar klassi bilan chambarchas bog’langan. Shuning uchun ham dastlab yetarlicha “ yaxshi “ funksiyalar tushunchasini aniqlab olamiz.
Evkild fazosida barcha (cheksiz ko’p tartibli ) hosilalarga ega va finit (ya’ni biror chegaralangan to’plamning tashqarisida nol bo’lgan )funksiyalar to’plamini K orqali belgilaylik. Bunday funksiyalarni asosiy funksiyalar deb, ularning to’plamini esa asosiy fuksiyalar fazosi (klassi) deb aytamiz. Asosiy funksiyalalrning haqiqiy songa ko’paytmasi va yig’indisi yana asosiy funksiya bo’lgani uchun K chiziqli fazo bo’ladi.
funksiyalar ketma-ketligi fazodan olingan bo’lsin.
Ta’rif – 13. Agar { } funksiyalar bitta chegaralangan to’plam tashqarisida nolga aylanib, barcha hosilalardan tuzulgan ketma-ketlik ham nolga tekis yaqinlashsa funksiyalar ketma-ketligi K da nolga intiladi deymiz. 1 – bob, 3§ dagi (3.1) formula bilan aniqlngan funksiyalar keta-ketligi ham h=n deyilsa { nolga intiluvchi asosiy funksiyalar ketma-ketligi bo’ladi. 2. umumlashgan funksiyalar.
Ta’rif – 14. K fazoning har bir φ(x) asosiy funksiyasiga f akslantirish yordamida aniq bir haqiqiy (f, φ) sonni mos qo’yib: a)
Ixtiyoriy ikkita haqiqiy son va ixtiyoriy ikkita asosiy funksiyalar uchun
(funksianalning chiziqlilik xossasi)va b) ketma ketlik K fazoda nolga intilganda sonlar ketma-ketligi nolga intisa (f funksianalning uzliksizligi), K to’plamda f chiziqli uzluksiz funksianal berilgan deymiz.
Misol-3. 22
fazoning har bir chekli qismida absolyut integrallanuvchi (lokal integrallanuvchi) funksiyani qarayik. Bu funksiya yordamida har bir asosiy funksiyaga
sonni mos qo’yishimiz mumkin. finit bo’lgani uchun integrallash biror chekli soha bo’yicha amalga oshiriladi. Ko’rinib turibdiki har bir lokal integrallanuvchi f funksiya orqali a) va b) shartlarni qanoatlantiruvchi funksionalni (2.1.1) tenglik bilan hosil qilish mumkin.
Misol-4. Yigirmanchi asrning 20-yillarida ingliz olimi Pol Dirak o’zining kvant mexanikasiga doir izlanishlarida fanga “ - funksiya” deb nomlangan
xossalarga ega funksiyani kiritadi. Matematiklar bunday xossaga ega funksiya matematika nuqtai nazardan kelib chiqilsa ma’no kasb etmasligiga ishonch hosil qildilar. Bu funksiya operatorga o’xshab ta’sir qilishi, yani har bir uzluksiz funksiyaga
sonni mos qo’yishi ham ta’rif-14 dagi a) va b) shartlarni qanoatlantirishi malum. (2.1.2) funksiyani tushuntirish uchun massasi 1 ga teng moddiy nuqta vujudga keltirilgan zichlikni aniqlash masalasini qo’yamiz. Bu zichlikni aniqlash uchun 1 massani markazi
nuqtada radiusi Ԑ>0ga teng) shar ichiga tekis taqsimlaymiz boshqacha aytganda “bo’yaymiz” . natijada quyidagi
zichlikka ega bo’lamiz. Dastlab izlanuvchi zichlik sifatida (biz uni orqali belgilab olamiz)
o’rtacha zichliklar ketma-ketligining Ԑ→+0 dagi nuqtalar bo’yicha limitini qabul qilamiz; yani
23
Tabiiyki zichlikdan har qanday V hajm bo’yicha olingan integral shu hajm ichida joylashgan moddaning massasini berishi lozim, ya’ni
nolga teng. Hosil bo’lgan qarama-qarshilik dagi nuqtalar bo’yicha limitini zichlik sifatida qabul qilmasligimizga olib keladi. uchun kuchsiz yaqinlashadigan limitni hisoblaymiz, ya’ni ixtiyoriy uzliksiz φ funksiya uchun
bo’lishini ko’rsatamiz. Haqiqatdan ham, ning uzliksizligidan har qanday η>0 son uchun shunday son topiladiki, bo’lganda
bo’ladi. Bu yerdan barcha Ԑ≤ sonlar uchun
bajariladi, bu esa (2.1.3) bo’lishini anglatadi. funksiyalar ketma-ketligining Ԑ→0 dagi kuchsiz limiti φ(0) funksianol ekan, ya’ni harbir uzluksiz funksiyaga uning
nuqtadagi qiymati φ(0) ni mos qo’yuvchi funksional ekan. Xuddi shu funksional – moddiy nuqta vujudga keltirgan zichlik sifatida qabul qilinqdi, ikkinchi tomondan bu ma’lum va mashhur Dirakning “ - funksiya” sidir.
Shunday qilib, degan yozuv shunday ma’nodaki: har qanday uzluksiz φ(x) funksiya uchun
bo’ladi, bu yerda simvol sonni, ya’ni funksionalning φ funksiyaga ta’siri natijasini anglatadi.
24
Endi nuqtada joylashgan to’la massani tiklash uchun funksional (zichlik) bilan funksiyaga ta’sir o’tkazish kerak bo’ladi
Agar nuqtada m massali modda jamlangan bo’lsa mos zichlikni
ga teng deb olish yetarli. Agar m massali modda nuqtada joylashgan bo’lsa, mos zichlik , bo’ladi. Shuningdek N nuqtalarda massali moddalar joylashgan bo’lsa, u holda zichlik
formula bilan topiladi. Shunday qilib moddiy nuqtalar vujudga keltirgan zichlik klassik funksiyalar yordamida aniqlanmas ekan, uni aniqlash uchun ancha kengroq matematik tabiatga ega obektlarni jalb qilishga, aniqrog’I chiziqli uzluksiz funksionallarni jalb qilishga to’g’ri kelar ekan.
Ta’rif-15. K asosiy funksiyalar fazosida aniqlangan chiziqli uzluksiz funksionalni umumlashgan funksiya deymiz. Odatda (2.1.1) ko’rinishda tasvirlanadigan umumlashgan funksiyalar regulyar umumlashgan funksiyalar , tasvirlanmaydiganlarini esa, ya’ni integral yordamida tasvirlash imkoni bo’lmaganlarini singulyar umumlashgan funksiyalar deb ataladi. (2.1.1) ko’rinishdagi umumlashgan funksiyalar regulyar umumlashgan funksiyaga, ( esa (“ - funksiya” esa) singulyar umumlashgan funksiyaga misol bo’ladi. Regulyar umumlashgan funksiya f
formula bilan ta’sir etsa, uni o’zgarmas C umumlshgan funksiya deymiz. Masalan:
birlik umumlashgan funksiya deyiladi. 25
Ko’pincha f umumlashgan funksiyani oddiy funksiyalarga o’xshatib deb yozish qabul qilingan. Hqiqatda bunday yozuv ma’nosiz, chunki umumlashgan funksiyaning aloxida olingan nuqtalaridagi qiymati haqida gapirish mumkin emas. Shunday bo’lsada ko’rinishda yozish ancha qulaylik tug’diradi. Masalan: ( yoki ( . yana bir narsa, regulyar bo’lmagan umumlashgan funksiyalarni ham integral ko’rinishda yozish qulaylik tug’diradi.
Barcha umumlashgan funksiyalar to’plamini orqali belgilaymiz. Umumlashgan funksiyalr ustida ularni qo’shish, songa va funksiyaga ko’paytirishni quyidagicha o’rnatamiz. 1.
K fazoda aniqlangan ikkita umumlashgan funksiyalarning yig’indisi deb
tenglik bilan aniqlangan ni tushunamiz. 2.
A haqiqiy son, f umumlashgan funksiya bo’lsin.
tenglik bilan aniqlangan funksionalni f umumlashgan funksiyaning songa ko’paytmasi deymiz. 3. Cheksiz diffrensiallanuvchi funksiyaga har qanday asosiy
funksiyani ko’paytirish yana asosiy funksiyani berishi ravshan. K’ fazodagi ixtiyoriy f umumlashgan funksiyani cheksiz diffrensiallanuvchi funks iyaga ko’paytmasi
ko’rinishda aniqlaymiz. af funksional yana chiziqli uzliksiz bo’ladi va da bo’lishi kelib chiqadi. Bu esa aφ∈K ekanligini anglatadi, ya’ni
4.
26
5. bo’lishini osongina isbotlash mumkin.
umumlashgan funksiyalar ketma-ketligiga mos keluvchi funksionallar ketma-ketligi limiti (f, φ) funksional bo’lsa, yani bo’lsa unda deb yozamiz va ketma-ketlik K’ da f ga yaqinlashadi deymiz, bu yerda . Shuningdek, umumlashgan funksiyalardan tuzilgan qatorning qismiy yig’indilaridan
tuzilgan ketma –ketlik ma’noda yaqinlashuvchi ketma– ketlikni tashkil etsa qatorni umumlashgan funksiyaga yaqinlashadi (yig’indisiga esa) deymiz.
2.2. Umumlashgan funksiyani diffrensiallash. Ma’lumki oddiy (klassik) funksiyalar ustida diffrensiallash operatsiyasi hamma vaqt ham bajarilavermaydi. Juda ko’p oddiy funksiyalar hatto birinchi tartibli hosilaga ega emaslar, bu borada umumlashgan funksiyalar bir muncha ustun turadi. Ko’rsatish mumkinki, umumlashgan funksiyalar, umumlashgan ma’noda har vaqt differensiallanuvchi va hatto cheksiz ko’p marta. Umumlash hosilani ta’riflashdan oldin hosilaga ega uzluksiz funksiyadan foydalanib
Integralda bo’laklab integrallashni amalga oshirsak
Tenglikka kelamiz (bu yerda funksiyaning finitligini, ya’ni ekanligini hisobga oldik). (2.2.1) tenglikni umumlashgan funksiyalarning hosilasini ta’riflashga asos qilib olamiz. Ta’rif – 16. K asosiy funksiyalar fazosida aniqlangan chiziqli funksional berilgan bo’lsin.
27
formula bilan berilgan (aniqlangan) g funksionalni f funksionaldan olingan hosila deyiladi kabi belgilanadi. Kelishilganimizga ko’ra, umumlashgan funksiyaning hosilasi uchun
yaqqol formulani yozish mumkin. Umumlashgan hosila ta’rifi korrekt aniqlanganligini ko’rsatish uchun (2.2.2) formuladagi funksionalning chiziqli uzliksiz funksional ekanligini ko’rsatamiz. Birinchidan g funksional barcha asosiy funksiyalar ustida aniqlangan, chunki
ham bilan birgalikda asosiy funksiya bo’ladi. Ikkinchidan chiziqli funksionaldir. Uchinchidan asosiy funksiyalar ketma-ketligi K da nolga intiluvchi ketma-ketlik bo’lsa, bu fazodagi yaqinlashish tushunchasiga muvofiq
Shuning uchun f ning uzluksizligidan
Shunday qilib har bir umumlashgan funksiya hosilaga ega ekanligi ko’rinadi. Oddiy hosila olish qoidalari umumlashgan hosila uchun ham o’z kuchida qoladi.
2.
3. cheksiz diffrensiallanuvchi funksiya bo’lsa
Ko’p o’zgaruvchili bo’lgan holni qaraymiz. Bu holda bir umumlashgan funksiyani alohida olingan argumenti bo’yicha xususiy hosilasini hisoblashni aniqlash mumkin.
28
Madomiki, diffrensiallash natijasi yana umumlashgan funksiyaga olib kelar ekan, biz hosila olishni davom ettirishimiz mumkin.
Shuningdek
tenglikni osongina isbotlash mumkin. Ko’p ozgaruvchili umumlashgan funksiya uchun aralash hosila tusunchasini kiritish mumkin. Bu holda har bir erkli o’zgaruvchilar bo’yicha xususiy hosilani
Formula orqali aniqlaymiz. Xuddi shu yo’sinda yuqori tartibli
va hakoza hosilalarni aniqlash mumkin. Shunday qilib barcha umumlashgan funksiyalar cheksiz ko’p marta diffrensiallanuvchi ekanligiga amin bo’ldik. Xususan lokol integrallanuvchi funksiya yordamida aniqlangan umumlashgan – regulyar umumlashgan funksiya ixtiyoriy tartibli hosilaga ega va u
formula bilan topiladi, bunda ,
, integral ham m karralidir. Shuni ta’kidlash kerakki, aralsh hosilalar hosila olish tartibiga bog’liq bo’lmaydi.
29
Haqiqatdan ham
Umumlashgan hosila (tushunchasini) ta’riflashni yana siljitish tushunchasi bilan ham berish mumkin. Har qanday umumlashgan funksiya uchun, uning qiymatga siljitishini
formula bilan hisoblaymiz. Har bir umumlashgan funksiya uchun umumlashgan holda yani ma’noda
da limitga ega ekanligini va bu limit yuqorida aniqlangan umumlashgan funksiya hosilasi bilan ustma-ust tushushini ko’rsatamiz.
Ma’lumki,
Shunday qilib
Umumlashgan hosila tushunchasini matematik analiz kursidan ma’lum bo’laklab integrallash va Gauss-Ostragradskiy formulalari yordamida ham ta’riflash mumkinligini ko’rsatamiz. Dastlab bo’laklab integrallash formulasini keltiramiz.
m-o’lchovli Evklid fazosida bo’lak-bo’lak silliq G sirt bilan chegaralangan Ω chekli sohada 30
klassga tegishli bo’lganda Gauss- Ostrogradskiy formulasi deb ataluvchi
Formula o’rinli bo’ladi. Bu yerda orqali sohaga nisbatan tashqi bo’lgan sirtga o’tgazilgan normal belgilandi, shuningdek tenglikning chap tamonida m karrali (soha bo’yicha) integral o’ng tamonida esa karrali (sohani chegaralab turuvchi sirt bo’yicha)integral turganini ham eslatib qo’yish zarur. Agar
bo’lsa
Yoki
Tengliklar o’rinli. O’ng tamondagi birinchi integralga Gauss-Ostragradskiy formulasini qo’llab bo’laklab integrallash formulasiga ega bo’lamiz.
Agar P va Q funksiyalardan biri sirt ustida nolga teng bo’lsa ,u holda sirt bo’yicha olingan integral nolga aylanadi va quyudagi anchagina sodda
formulaga kelamiz. Endi ancha murakkab ko’rinishdagi integralni qaraymiz:
31
Agar P funksiya barcha kerakli tartibdagi uzliksiz hosilalarga ega bo’lsa, u holda oxirgi integralda Q funksiyani hosila olinishdan (differensiallashdan) qutqarguncha K marta bo’laklab integrallash formulasini qo’llasak
formulaga kelamiz. Bu yerda orqali va funksiyalar va ularning tartibgacha hosilalaridan bog’liq ifoda belgilangan. Endi yana ham umumiyroq holga o’tamiz Ω Evklid fazosidagi biror soha, va funksiyalar Ω da local integrallanuvchi, xususan Ω ning ixtiyoriy soxa ostida jamlanuvchi, yani (bu klass haqida 1-bob 3§ “o’rta funksiyalar” deb nomlangan bandda atroflicha to’xtalgan). Faraz qilaylik φ∈ bo’lsin (bu klass haqida ham 1-bob, 3§ da eslatilgan) va quyidagi
tenglik o’rinli bo’lsin. Bu yerda – biror multindeks. Xususiy holda bo’lsa (2.2.7) bo’laklab integrallash formulasi (2, 2, 8) tenglikka kelish qiyin emas.
Ta’rif-17. Agar funksiyalar uchun (2.2.8) tenglik bajarilsa V funksiyani funksiyaning Ω sohadagi k-tartibli umumlashgan hosilasi deymiz. Umumlashgan hosila uchun ham odatdagi simvol ishlatiladi, va
kabi belgilanadi. Umumlashgan hosilaga nisbatan quyidagi teoremani isbotsiz keltiramiz.
32
Teorema-3. (2.2.8) ko’rinishdagi umumlashgan hosila yagonadir.
2.3. Ayrim umumlashgan funksiyalarni diffrensiallash (umumlashgan hosilalarni hisoblash).
Bu paragrfda dastlab bir o’zgaruvchili, so’ngra ko’p o’zgaruvchili eng muhim umumlashgan funksiyalarning umumlashgan hosilalarini hisoblashni ko’ramiz.
Misol – 5. Quyidagi funksiyani qaraylik.
Bu funksiyani “teta funksiya” yoki Xevisayd funksiya deb yuritiladi. Bu funksiya har qanday chegaralangan to’plamda integrallanuvchi (lokal integrallanuvchi) shuning uchun ham umumlashgan hosilasi
Biz bu yerda da va
ning finit ya’ni φ(+∞)=0 ekanligidan foidalandik. Agar 2 – bob 1§ dagi “ẟ - funksiya” ni eslasak (ẟ ya’ni
tenglikka kelamiz, demak Xevisayd funksiyasining umumlashgan hosilasi Dirakning “ẟ - funksiya” siga teng ekan. ekanligini ham ko’rishimiz mumkin.
Misol – 6. Bizga nuqtalarda birinchi tur uzulishga ega mos ravishda sakrashga ega bo’lak- bo’lak uzliksiz hosilaga ega funksiya berilgan bo’lsin. (chizma – 1 ga qaralsin).
33
Quyidagi funksiyani kiritamiz.
Albatta bu funksiya hamma joyda uzluksiz va chekli sondagi nuqtalardan boshqa hamma joyda hosilaga ega. lokal integrallanuvchi funksiyadir. Shuning uchun ham u orqali umumlashgan funksiyani
ko’rinishda aniqlaymiz.
34
Shunday qilib
Yani bo’lak-bo’lak uzliksiz hosilaga ega bo’lgan bo’lak-bo’lak uzliksiz funksiya har bir
nuqtada 1-tur uzulishga ega va sakrashga ega funksiyani diffrensiallashda qo’shiluvchini qo’shish lozim bo’lar ekan.
Misol-7.
Funksiyani diffrensiallaylik. Bu funksiya local integrallanuvchidir, ammo uning hosilasi oddiy ma’noda local integrallanuvchi emas. Shuning uchun
Uzoqlashuvchi integralni regulyarlashtirishga kelamiz. Diffrensiallning umumiy qoidasiga asosan
35
Agar deyilsa, dastlabki ikkita qo’shiluvchi da nolga aylanadi, chunki va
Tanlangan C uchun
Ko’rinib turibdiki, o’ng tomondagi limit Ԑ→0 da mavjud. Albatta bu limitni, ya’ni
Deyish mumkin. Bundan
Formulani to’g’riligi ko’rinadi.
Misol-8.
Funksiyani diffrensiallaymiz.
ifodani ifoda bilan almashtirish mumkin, chunki
Shundan so’ng
36
Bu yerda
Natijada
Misol-9. Delta-funksiyaning hosilasini hisoblaymiz. Ma’lumki
Umuman
Misol-10. funksiya yordamida aniqlangan regulyar funksionalga Laplas operatori ni qo’llash natijasini ko’raylik. bo’lganda ekanligi ma’lum. ni umumlashgan funksiyalar fazosida qo’llab
Bu formulaga Grin formulasini qo’llab yetarlicha kata son bo’lib sharning tashqarisida
37
Ekanligini ko’ramiz. Demak
ni olamiz. Demak bu Laplas tenglamasining umumlashgan funksiyalar fazosidagi ko’rinishidir.
Misol-11.
Funksiyaning dagi limitiẟ ekanligini ko’rsatamiz. Odatda bunday funksiyalarni delta-sifat funksiyalar deyiladi. Har qanday bolgan a va b sonlar uchun
Demak,
local integrallanuvchidir. (2.3.4) formuladagi integralning 1 ga tengligini ko’rsatish uchun matematik analiz kurisidan ma’lum Eyler – Puasson integrali deb ataluvchi integralning
qiymatdan foidalanamiz.
38
Demak
ekan. Shuningdek funksiyaga issiqlik o’tkazuvchanlik operatori ni ta’sir etkazsak:
Ekanligini ko’rsatish qiyin ekas. Shunday qilib Misol-10 va Misol-11 larda, mos ravishda
Umumlashgan funksiyalarga mos ravishda Laplas operatori
va issiqlik o’tkazuvchanlik operatori
Larning ta’sirida -4 va
umumlashgan funksiyalarni olishimiz mumkinligini ko’rdik. Ω⊂ va Ω da jamlanuvchi hamda berilgan k tartibdagi barcha umumlashgan hosilalari berilgan p daraja bilan Ω da jamlanuvchi U funksiyalar to’plamini orqali belgilaylik. Bu to’plam elementlari normasini 39
Ko’rinishda kiritsak to’plam (2.3.5) norma bilan normallangan fazoga aylanadi. Odatda ni (2.3.5) normasi bilan Sobolev fazosi deyiladi.
40
III. Xulosa va takliflar. 1.
Bitiruv – malakaviy ishi zamonaviy matematikada kuchli tekshirish apparat – umumlashgan funksiyalar nazaryasini o’rganishga bag’ishlangan. 2.
Umumlashgan funksiya tushunchasiga olib keladigan muhim muammolar jumladan, ma’lum massaga ega moddiy nuqta vujudga keltirgan zichlikni hisoblash va shunga o’xshash muammolarga batafsil izoh berilgan. 3. Odatdagi – klassik funksiyalarning aniqlanish (berilish) sohasi sonli to’plamlar bo’lsa, umumlashgan funksiyalar funksiyalar to’plamida aniqlangan bo’lgani uchun ishning birinchi bobida funksional fazolarga, hususan normallangan va gilbert fazosiga alohida to’xtalgan. 4.
Birinchi bobda umumlashgan funksiyalar bilan chambarchas bog’liq bo’lgan o’rta funksiyalar tushunchasiga keng o’rin berilgan. 5. Klassik funksiyalar yordamida ifodalab bo’lmaydigan juda ko’p tabiiy jarayonlar, xususan, nuqtaviy manba intensivligi, nuqtaviy zaryad va dipol zichligi faqatgina uzliksiz chiziqli funksionallar yordamidagina ifodalaniladi. 6.
Umumlashgan funksiyalarni diffrensiallash uch xil yo’l bilan kiritilishi mumkinligi, ulardan biri asosiy ta’rif sifatida qolganlari esa uning natijasi deb olinsa bo’lishi ta’kidlandi. 7.
Umumlashgan hosilaning ixtiyoriy tartiblili mavjudligi klassik hosilaga nisbatan ma’lum ma’noda ustinligini bildirishi ko’rsatilgan. 8. Matematik analizdan ma’lum Gauss – Ostragradskiy formulasi va bo’laklab integrallash formulalarini umumlashgan ma’noda diffrensiallash uchun asosiy vosita sifatida qarash yuqori samara berishi ta’kidlanadi. 9.
Xevisayd funksiyasining umumlashgan ma’nodagi hosilasi Dirakning delta – funksiyasiga tengligi, shuningdek chekli sondagi nuqtalarda birinchi tur uzulishga ega bo’lak – bo’lak silliq funksiyalarning umumlashgan ma’nodagi hosilasi bilan klassik ma’nodagi hosilasi o’rtasidagi bog’lanish keltirilgan. 10.
Bitiruv – malakaviy ish mavzusini – Sobolev fazolarida davom ettirish tavsiya etiladi.
41
IV. Foydalanilgan adabiyotlar va manbalar. 1.
Karimov I.A. Milliy istiqlol g’oyasi: asosiy tushunchalar va tamoyillar. T.: 2001. 2. Karimov I.A. O’zbekiston XXI asga intilmoqda. T.: “O’zbekiston”, 1999. 3.
Karimov I.A. Yuksak ma’naviyat yengilmas kuch. T.: “Ma’naviyat”, 2008. 4. Karimov I.A. Biz kelajagimizni o’z qo’limiz bilan quramiz. T.: 1999. 5.
Karimov I.A. Barkamol avlod – O’zbekiston taraqqiyotining poydevori. T.: “O’zbekiston”, 1997. 6. Abu Nasr Farobiy “Fazilat, baxt – saodat va kamolat haqida. T.: “Yozuvchi”, 2001. 7.
Azlarov T.A. , Mansurov X. matematik analiz 1, 2 – qismlar, T.: “O’qituvchi”, 1994. 8. Арсенин В.Я. Методы математической физики и специальные методы М.: “Наука”, 1994. 9.
Alimov Sh.O., Ashirov P.P. Matematik tahlil. T.: “Mumtoz – so’z”, 2010. 10. Боголюбов Н.Н. , Широков Д.В. Введение в теории kвантованных полей. М.: “Наука”, 1993. 11.
Бремерман Г. Распределения. Комплексные функциa и преобразоания фурье. М.: “Мир”, 1998. 12. Будак Б.М. , Самарский А.А. , Тихонов А.Н. Сборник задач по математической физики. М.: “Наука”, 1996. 13.
Векуа И.Н. Обобщенные аналитические функции. М.: “Физматгиз”, 2001. 14. Владмиров В.С. Уравнения математической физики. М.: “Наука”, 1988. 15.
Владмиров В.С. , Михайлов В.П. , Вашарин А.А. и др. Сборник задач по математической физики. М.: “Наука”, 2001. 16. Владмиров В.С. Обобщенные функции в математической физики. М.: “Наука”, 1976. 17.
Гельфанд И.М. , Шилов Г.Е. Обобщенные функции и действия над ними. Том 1. М.: “Наука”, 1991. 18. Градштейн И.С. , Рижик И.М. Таблици интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: “Наука”, 1991. 19.
Годунов С.К. Уравнения математической физики. М.: “Наука”, 1991. 20. Аналитические функции М.: “Наука”, 1968. 21. Jurayev T. , Abdunazarov C. Matematik fizik tenglamalari. T.: “O’qituvchi”, 2004.
42
22. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа М.: “Наука”, 1992. 23. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: “Наука”, 1999. 24.
Salohiddinov M. Matematik fizik tenglamalari. T.: “O’zbekiston”, 2002. 25. Salohiddinov M. , Islomov B. Matematik fizika tenglamalari fanidan masalalar to’plami. T.: “Mumtoz – so’z”, 2010. 26.
Салехово И.Г. Аблеава С.Г. Методическое пособие для преподавания практических занятий по курсу “ Уравнения математической физики”. Казан, 2010. 27.
Салехова И.Г Методическое указания курсу “Уравнения математической физики”. Казан; КГУ, 1982, 1983, 1990. 28. Смирнов М.М. задачи по уравнениям математической физики. М.: “Наука”, 1975. 29.
Сироткина А.А. Методические разработки практических занятий по методам математической физики. М.: МГПН. 1978. 30. Тихонов А.Н. Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: “Наука”, 1978. 31.
Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчсления. М.: “Наука”, Т.1, 2, 3, 1970. 32. Internet ma’lumotlari, saytlar. Yüklə 1,33 Mb. Dostları ilə paylaş:
|