Matematika yo`nalishi (1)

Grin formulasini keltirib chiqarish
Ma’lumki, Nyuton-Leybnits formulasi f(x) funksiyaning [a,b] oraliq
bo’yicha olingan aniq integralini shu funksiya boshlang’ich funksiyasining oraliq
chekkalari (chegaralari) dagi qiymatlari orqali ifodalar edi. Biror (D) sohada
((D) ⊂ ) berilgan f(x,y) uzluksiz funksiyaning ikki karrali
𝑅
2
integralini tegishli funksiyaning shu soha chegarasidagi qiymatlari orqali
(aniqrog’i, soha chegarasi bo’yicha olingan egri chiziqli integrali orqali)
ifodalaydigan formula ham mavjud. Quyida bu formulani keltiramiz.
Grin formulasi.Yuqoridan
y= (x)
(a
)
φ
2
≤𝑥≤𝑏
funksiya grafigi, yon tomonlardan x=a , x=b vertikal chiziqlar hamda pastdan y=
(x)
(a
) funksiya grafigi bilan chegaralangan soha egri chiziqli
φ
1
≤𝑥≤𝑏
trapesiyani qaraylik. Bu sohani (D) bilan, uning chegarasi – yopiq chiziqni
∂D bilan belgilaylik (2-chizma).

---

2-Chizma
Ravshanki,
funksiya grafigi,
funksiya grafigi hamda
P(x,y) funksiya shu (D) sohada uzluksiz bo’lib,
ega va u ham (D) da uzluksiz bo’lsin. U holda ushbu
integral mavjud bo’ladi

---

bo’ladi. Endi
bo’lishini e’tiborga olib, quyidagini topamiz:
Yuqoridagi formulalarimizga muvofiq
bo’ladi. Demak,
Ravshanki,
(2.16)
Bu tengliklarni hisobga olib quyidagini topamiz:
Demak,

---

Endi, yuqoridan y=c , pastdan y=d chiziqlar, yon tomondan esa
funksiyalar grafiklari bilan chegaralangan soha egri chiziqli trapetsiyani qaraylik.
Bu sohani (D) bilan, uning chegarasi – yopiq chiziqli ∂D bilan belgilaylik
Q(x,y) funksiya shu (D) sohada uzluksiz bo’lib
xususiy hosilaga ega va bu hosila (D) da uzluksiz bo’lsin. U holda
(2.17)
bo’ladi.
Bu formulaning to’g’riligi yuqoridagidek mulohaza yuritish bilan isbotlanadi.
Endi
fazoda qaraladigan (D) soha yuqoridagi ikki holda qaralgan
𝑅
2
sohaning har birining xarakteriga ega bo’lgan soha bo’lsin, ∂D esa uning
chegarasi bo’lsin. Bu (D) sohada ikkita P(x,y) va Q(x,y) funksiyalar uzluksiz
bo`lib ular

---

(2.18)
xususiy hosilalarga ega hamda bu hosilalar ham
(D) da uzluksiz bo’lsin. Ravshanki, bu holda (2.17) va (2.18) formulalar o’rinli
bo’ladi. Ularni hadlab qo’shib ushbuni topamiz:
(2.19)
Bu Grin formulasi deb ataladi.
Demak, Grin formulasi sohasi bo’yicha olingan ikki karrali integralni shu
soha chegarasi bo’yicha olingan egri chiziqli integral bilan bog’laydigan formula
ekan.
Biz yuqorida Grin formulasi maxsus ko’rinishdagi (D) sohalar (egri chiziqli
trapesiyalar) uchun keltirdik. Aslida bu formula ancha keng sinfdagi sohalar uchun
ham to’g’ri bo’lib, bu fakt u sohalarni chekli sondagi egri chiziqli
trapesiyalar yig’indisi sifatida tasvirlash bilan isbot qilinadi.

---

XULOSA
Ushbu kurs ishida Egri chiziqli integrallar va Grin formulasi yoritildi.Mavzuni
yoritishda ko’plab adabiyotlar va qo’llanmalardan foydalanildi.Kurs ishi kirish
qism,asosiy qism,foydalanilgan adabiyotlar ro’yhati va xulosadan iborat bo’ldi.
Asosiy qism esa 3 ta bobga bo’lingan holda yozildi . Birinchi bobda birinchi tur
egri chiziqli integrallari va uni hisoblash mavzusi o’rganildi. Ikkinchi bobda
ikkinchi tur egri chiziqli integrali va uni hisoblash ,uchinchi bobda Grin
formulasini keltirib chiqarish mavzusi yoritildi .
Ushbu kurs ishidagi mavzularni o’rganishda men matematik analiz faniga oid
kitoblarni yanada ko’proq o’rgandim. Egri chiziqli integrallar misollarini
ishlanishini o’rgandim va shu mavzuga doir misollarni kurs ishiga kiritdim.
Oliy matematikaning dastlabki qismini o’rganish mobaynida men egri chiziq va
uning tenglamalari,egri chiziqning uzunligi kabi ma’lumotlar, shuningdek, bazi
egri chiziqning tasvirlari bilan tanishdim . Egri chiziqli integrallar nazariyasida egri
chiziqlarning muhimligini e’tiborga olib ,ular haqida bazi ma’lumotlarni keltirishni
lozim topdim. Hozirgi zamon matematikasida egri chiziq turlicha ta’riflangan
bo’lib ular orasida Jordan tomonidan keltirilgan ta’rif bir muncha tabiiyroq
hisoblanadi u egri chiziqni nuqtaning uzluksiz harakati natijasida qoldirgan izi
sifatida qaragan .
Ma’lumki integral matematik analizning muhim tushunchalaridan biri hisoblanadi
uning umumlashtirishlaridan biri –ma’ruzalarda bayon etilgan ikki o’zgaruvchili
funksiyaning tekislikdagi to’plam bo’yicha ikki karrali integralidir . Ikki
o’zgaruvchi funksiya integralini boshqacha umumlashtirib egri chiziqli integral
sifatida qarash mumkin. Bu amaliy masalalarni hal qilishda zarur ekanligidan kelib
chiqqan .
Demak ,egri chiziqli integral qiymati A va B nuqtalarni tutashtiruvchi chiziq
shakliga bog’liq emas , balki bu nuqtalar holatiga bog’liq bular ekan bu xulasaning
teskarisi ham o’rinli.
Kadrlar tayyorlash milliy dasturiga muvofiq, kiyingi yillarda ta’lim jaroyinining
mazmunini tubdan takomillashtirish va talabalarning shu fanni o’rganishda
qulayliklar tug’tirish bo’yicha kata ishlar qilinmoqda .
Ilim fanning yanada rivojlanishiga kata e’tibor berilmoqda . O’zbekiston
Respublikasi mustaqillikka erishganidan so’ng ,ta’lim tarbiya tizimidagi islohotlar
boshlangandan keying yillarda prezidentimiz Islom Karimov jahon tarjibasi va
hayotda o’zini ko’p bor oqlagan haqiqatdan kelib chiqib , agar bu maqsadlarimizni
muvaffaqiyatli ravishda amalga oshirsak ,hayotimizda ijobiy ma’nodagi yangi
ta’lim modelining kuchli samarasiga erishamiz , degan fikrni bildirgan edi .

---

Boshqa tabiiy fanlar qatori matematika fani o’zining ko’plab amaliy tadbiqlariga
ega bo’lgan murakkab fanlardan biri bo’lib ,bu sohadan muhim ilmiy yangiliklar
kashf qilinmoqda .
Ko’p o’zgaruvchili funksiyalarning integrallari bilan bog’liq masalarnini hal
etishda karrali integrallarni o’rganish matematika va fanning boshqa tarmoqlarida
kata ahamiyatga egadir . Karrali integrallar nazariyasida huddi aniq integarllar
nazriyasidagi kabi , karrali integralning mavjudligi , hossalari ,ularni hisoblash ,
integralning tadbiqlari egri chiziqli integrallar va aniq integral bo’yicha
ma’lumotlar asosida o’rganildi .
Xulasa qilib aytganda , ushbu kurs ishida o’rganilgan egri chiziqli integrallar
nazariyasi mavzusi amaliy ahamiyatga ega bo’lgan ,matematik analiz fanidagi
muhim mavzulardan bo’lib , undan universitetdagi fizika, matematika va
informatika yo’nalishlarida tahsil olayotgan talabalar foydalanishlari mumkin .

---