Matematikadan o’quv-uslubiy majmua

Egri chiziq urinmasining burchak koeffitsientini topish masalasi. Endi G egri chiziq biror oraliqda aniqlangan uzluksiz y=f(x) funksiyaning

grafigi bo‘lgan holda urinmaning burchak koeffitsientini topaylik. Qaralayotgan

f(x) funksiya grafigini ifodolovchi G chiziqqa tegishli M0nuqtaning abssissasi x0,
ordinatasi f(x0) va shu nuqtada urinma mavjud deb faraz qilaylik.

G chiziqda M0 nuqtadan farqli N(x0+∆x,f(x₀+∆x)) nuqtani olib, M₀Nkesuvchi o‘tkazamiz.Uning

O x o‘qi musbat yo‘nalishibilan tashkil etgan burchagini α bilan belgilaymiz (6-rasm).
Ravshanki, α burchak ∆x ga bog‘liq bo‘ladi: α=α(∆x) va

_tgα=^BN = ^∆y_o‘rinli.
M ₀ B ∆x
6-rasm

Urinmaning abssissa o‘qining musbat yo‘nalishi bilan hosil qilgan burchagini θ bilan belgilaymiz. Agar θ≠π/2 bo‘lsa, u holda tgα funksiyaning uzluksizligiga ko‘ra kurinma=tgθ = lim tgα , va N nuqtaning M0 nuqtaga intilishi

14. 
    →M₀
    

∆xyning 0 ga intilishiga teng kuchli ekanligini e’tiborga olsak,k_urinma=lim^∆y

∆x→0∆x

tenglikka ega bo‘lamiz.

Shunday qilib, y=f(x) funksiyaning abssissasi x₀ bo‘lgan nuqtasida

novertikal urinma o‘tkazish mumkin bo‘lishi uchun shu nuqtada ^lim∆y limitning

∆x→0∆x

mavjud bo‘lishi zarur va yyetarli, limit esa urinmaning burchak koeffitsientiga teng bo‘lar ekan.
3.Harakatdagi nuqta tezligini topish haqidagi masala. Faraz qilaylikmoddiy nuqta s=s(t) qonuniyat bilan to‘g‘ri chiziqli harakatlanayotgan bo‘lsin. Ma’lumki, fizikada nuqtaning t₀ va t₀+∆t vaqtlar orasida bosib o‘tgan ∆s=s(t₀+∆t)-s(t₀) yo‘lining shu vaqt oralig‘iga nisbati nuqtaning o‘rtacha tezligi deyilar edi:

vo‘rta=	∆s	=	s( t0+ ∆t ) − s( t0 )				. Ravshanki, ∆t qancha kichik bo‘lsa,	∆s	o‘rtacha
	∆t			∆t		∆t
tezlik	nuqtaning			t0 paytdagi tezligiga shuncha yaqin bo‘ladi. Shuning uchun

nuqtaning t₀ paytdagi oniy tezligi deb [t₀;t₀+∆t] vaqt oralig‘idagi o‘rtacha tezlikning ∆t nolga intilgandagi limitiga aytiladi.

Shunday qilib, v_oniy = lim^∆s .

∆t→0 ∆t
Yuqoridagi ikkita turli masalani yechish jarayoni bitta natijaga (odatda matematikada bunday holda bitta matematik modelga deb aytiladi) - funksiya orttirmasining argument orttirmasiga bo‘lgan nisbatining argument orttirmasi nolga intilgandagi limitini hisoblashga keltirildi. Ma’lum bo‘lishicha, ko‘pgina masalalar yuqoridagi kabi limitlarni hisoblashni taqoza qilar ekan. Shu sababli buni alohida o‘rganish maqsadga loyiqdir.


Hosila

1. Funksiya hosilasining ta’rifi.
Aytaylik f(x) funksiya (a,b) intervalda aniqlangan bo‘lsin. Bu intervalga tegishli x₀ nuqta olib, unga shunday ∆x orttirma beraylikki, x₀+∆x∈(a,b ) bo‘lsin. Natijada f(x) funksiya ham x₀ nuqtada ∆y=f(x₀+∆x)- f(x₀) orttirmaga ega bo‘ladi.

Ta’rif.

Agar

∆x→0

da

∆y

nisbatning

limiti

∆x

∆y

f ( x0+ ∆x ) − f ( x0 )

lim

= lim

mavjud

va

chekli bo‘lsa, bu limit

f(x)

∆x

∆x→0

∆x→0

∆x

dy( x0 )

funksiyaning x0 nuqtadagi hosilasi deyiladi va

f’(x0), yoki y’(x0),

yoki

dx

orqali, ba’zan esa y'|

yoki

dy

kabi belgilanadi.

x=x

dx

x=x

0

0

Bu holda funksiya x0 nuqtada hosilaga ega deb ham aytiladi.

Demak,

∆y

f ( x0+ ∆x ) − f ( x0 )

f ' ( x0

) = lim

= lim

.

∆x

∆x→0

∆x→0

∆x

Bunda x0+∆x=x deb olaylik. U holda ∆x=x-x0 va ∆x→0 bo‘lib, natijada

lim

∆y

= lim

f ( x0+ ∆x ) − f ( x0 )

= lim

f ( x ) − f ( x0 )

∆x

∆x→0

∆x→0

∆x

x→x0

x − х0

bo‘ladi. Demak, f(x) funksiyaning					x0nuqtadagi hosilasi x→x0da
	f ( x ) − f ( x0	)		nisbatning limiti sifatida	ham ta’riflanishi mumkin:
	x − x0
					f ( x ) − f ( x0 )
				f ' ( x0 ) = lim
					x − x0
				x→x0

Yuqoridagi limit mavjud bo‘lgan har bir x₀ ga aniq bitta son mos keladi, demak f’(x) - bu yangi funksiya bo‘lib, u yuqoridagi limit mavjud bo‘lgan barcha x nuqtalarda aniqlangan. Bu funksiya f(x) funksiyaning hosila funksiyasi, odatda, hosilasi deb yuritiladi.
Endi hosila ta’rifidan foydalanib, y=f(x) funksiya hosilasini topishning quyidagi algoritmini berish mumkin:
1⁰. Argumentning tayinlangan x qiymatiga mos funksiyaning qiymati f(x) ni topish.
2⁰. Argument x ga f(x) funksiyaning aniqlanish sohasidan chiqib ketmaydigan ∆xorttirma beribf(x+∆x)ni topish.

3⁰. Funksiyaning ∆f(x)=f(x+∆x)-f(x) orttirmasini hisoblash.

4⁰_.^{∆f ( x )}_{nisbatni tuzish.}

∆x

5⁰. ^{∆f ( x )} nisbatning ∆x→0 dagi limitini hisoblash.

∆x

Misollar. 1. y=kx+b funksiyaning hosilasini toping.

Yechish. Hosila topish algoritmidan foydalanamiz.

1⁰. Argument x ni tayinlab, funksiya qiymatini hisoblaymiz: f(x)=kx+b.

2⁰. Argumentga ∆x orttirma beramiz, u holda f(x+∆x)=k(x+∆x)+b=kx+k∆x+b.

3⁰. Funksiya orttirmasi ∆f(x)=f(x+∆x)-f(x)=(kx+k∆x+b)-( kx+b)=k∆x.

4^0.		∆f ( x )		=	k∆x		= k.
		∆x			∆x
5^0. lim			∆f ( x )			=	lim k=k.
	∆x→0			∆x			∆x→0

Demak, (kx+b)’=k ekan.

Xususan, y=b o‘zgarmas funksiya (bu holda k=0) uchun (b)’=0; y=x (k=1) funksiya uchun x’=1 bo‘ladi.

2. y=

1

funksiyaning hosilasini toping.

x

1

Yechish. 1^0. f(x)=

.

x

2^0. f(x+∆x)=

1

. Bu erda

umumiylikni

cheklamagan holda x>0 va

x + ∆x

|∆x|<x deb hisoblaymiz.

1

1

∆x

3^0. ∆f(x)=f(x+∆x)-f(x)=

-

= −

.

x + ∆x

x

x( x + ∆x )

4^0.

∆f ( x )

∆f ( x )

= −

∆x

= −

1

.

∆x

∆x

x( x + ∆x )∆x

x^2+ x∆x

5^0. lim

∆f ( x )

= lim

( −

1

)= −

1

.

∆x→0

∆x

∆x→0

x^2+ x∆x

x^2

Demak,

1

' =

−

1

.

x

x^2

2.