Matris anlayışı
Yüklə 1,75 Mb.
|
Aşağıdakı matrislərin növünü təyin edin:
Aşağıdakı matrisləri transponirə edin.
Aşağıdakı matrislərin xətti kombinasiyasını tapın:
Aşağıdakı matrisləri pilləvari şəklə gətirin.
Aşağıdakı matrislərin hasillərini tapın.
və matrisləri verildikdə və hasillərini tapın (əgər mümkündürsə).
35. , , matrisləri verilmişdir. xassəsinin doğru olduğunu yoxlayın. §3. İki və üçtərtibli determinantlar İstənilən -tərtibli kvadrat matrisinə onun elementlərindən düzəlmiş və determinant (ayırddedici) adlanan ədəd qarşı qoymaq mümkündür. Birtərtibli kvadrat matrisini təşkil edən ədədinə onun determinantı (və ya birtərtibli determinant) deyilir və və ya kimi işarə olunur: . İkitərtibli kvadrat
matrisinin elementlərindən düzəldilmiş ifadəsinin bərabər olduğu ədəd matrisinin determinantı (və ya ikitərtibli determinantı) adlanır və
kimi yazılır. (1) ifadəsində və hasillərinə ikitərtibli determinantın hədləri deyilir. ifadəsinə determinantın açılışı vəya qiyməti deyilir. Üçtərtibli matrisinin determinantı (və ya üçtərtibli determinantı) isə aşağıdakı ədədə deyilir və ilə işarə olunur:
(2) bərabərliyinin sağ tərəfi determinantın elementlərindən düzəldilmiş altı həddən ibarətdir. Hər bir toplanana matrisin hər sətir və hər sütunundan ancaq və ancaq bir ünsür daxildir. Determinantın (2) açılışındakı hədlərin ifadəsi və işarəsi üçbucaq qaydası adlanan aşağıdakı sxemlərlə müəyyən olunur. Misal 1. . 4. Minor və cəbri tamamlayıcı -tərtibli determinantin hər hansı elementinin durduğu sətir və sütun elementlərini pozduqda alınan bir tərtib aşağı, yəni tərtibli determinant bu elementin minoru adlanır və ilə işarə edilir. Determinantın elementinin minorunun ədədinə hasili həmin elementin cəbri tamamlayıcısı adlanır və kimi işarə edilir:
Misal 1. matrisinin elementinin minor və cəbri tamamlayıcısını tapaq: ; . Teorem (Laplas teoremi). İstənilən determinantın qiyməti sətir və ya sütun elementlərinin uyğun cəbri tamamlayıcıları hasillərinin cəminə bərabərdir. Məsələn, üçtərtibli determinantın sətir ünsürləri üçün aşağıdakı düsturlar döğrudur:
Bu bərabərliklər üçtərtibli determinantın uyğun sətir elementləri üzrə ayrılışları adlanır. Bu teoremi ardıcıl tətbiq etməklə yüksək tərtibli determinantları tərtiblərini azaltmaqla üç və ikitərtibli determinantlara gətirməklə hesablamaq olar.
Hər bir determinantın sətirləri ilə sütunları eyni hüquqludur.Buna görə də determinantın bundan sonrakı xassələrini ancaq sətirləri və ya sütunları üçün söyləmək kifayətdir. Xassə 2. Determinantın istənilən iki sətrinin yerini dəyişdikdə onun işarəsi dəyişir: . Xassə 3. İki sətri eyni olan determinant sifra bərabərdir: . X4. Determinantın istənilən bir sətrinin elementlərinin ortaq vuruğunu determinant işarəsi xaricinə cıxarmaq olar. . Nəticə. Determinantı bir ədədə vurmaq üçün determinantın hər hansı bir sətrini həmin ədədə vurmaq lazımdır. Nəticə. Determinantın hər hansı bir sətrinin bütün elementləri sıfır olduqda determinant sifra bərabərdir. Xassə 5. Determinantın mütənasib olan sətirləri varsa, onda determinant sifra bərabərdir: . Xassə 6.Determinantın hər hansı bir sətrinin bütün elementləri iki toplanandan ibarət olduqda, onu iki determinantın cəmi şəklində yazmaq olar, belə ki, bu determinantların birində həmin sətir elementləri olaraq birinci , digərində isə ikinci toplananlardan ibarət olur: . Xassə 7. Determinantın hər hansı bir sətir elementlərini müəyyən bir ədədə vurub başqa sətrinin uyğun elementləri ilə topladıqda, onun qiyməti dəyişməz: . Xassə 8.Determinantın hər hansı sətir (sütun) elementlərinin digər sətrin (sütunun) uyğun elementlərinin cəbri tamamlayıcılarına hasilləri cəmi sifra bərabərdir. Məsələn, üçtərtibli determinant üçün ........................................... doğrudur. Xassə 9.İstənilən eyni tərtibli kvadrat və matrisləri üçün bərabərliyi doğrudur. Diaqonal matrisin determinantı onun baş diaqonal elementlərinin hasilinə bərabərdir. Sərbəst çalışmalar Determinantları hesablayın:
Tənlikləri həll edin:
Bərabərsizlikləri həll edin:
Aşağıdakı determinantları ixtiyari sətir və ya sütununun ayrılışına görə hesablayın:
Aşağıdakı matrislərin minorlarını tapın:
Aşağıdakı determinantların bütün elementlərinin cəbri tamamlayıcılarını tapınn:
§6. Matrisin ranqı ölçülü matrisinin ixtiyari sayda sətrinin sayda sütunu ilə kəsişdiyi elementlər - tərtibli bir kvadrat matris təşkil edir, burada . Bu - tərtibli matrisin determinantına matrisinin -tərtibli minoru deyilir və ilə işarə edilir. Tərif. matrisinin sıfırdan fərqli ən yüksək tərtibli minorunun tərtibinə həmin matrisin ranqı deyilir və və ya ilə işarə edilir. Tərifdən alırıq ki, matrisinin ranqı üçün bərabərsizliyi doğrudur. matrisinin ranqı olarsa, onun sıfırdan fərqli -tərtibli minoru vardır. matrisinin ranqı olduqda onda tərtibi -dən böyük olan bütünn minorları sıfra bərabərdir. Tərtibi matrisin ranqını müəyyən edən minor bazis minoru adlanır. Matrisin bir neçə bazis minoru ola bilər. Matrisin bazis minorunun sətirlərinə (sütunlarına) uyğun sətirləri (sütunları) bazis sətirləri (bazis sütunları) adlanır.
Matrisin ranqını iki qayda ilə tapacağıq. 1 (Haşiyələnən minorlar üsulu). Birinci üsulda seçmə yolu ilə matrisin sıfırdan fərqli ən yüksək tərtibli minorunu tapırlar. Əvvəlcə ixtiyari birtərtibli minoru (yəni matrisin sıfırdan fərqli elementi) axtarılır. Əgər belə minor yoxdursa, onda verilmiş matris sıfır matrisdir və . Sonra minorunu öz daxilinə alan minoru tapılanadək ikitərtibli minorlar hesablanır. Əgər belə minor (yəni sıfırdan fərqli olan ikitərtibli) yoxdursa, onda , əks halda və s. Bu qayda ilə matrisin ranqını axtararkən hər addımda cəmi bircə tərtibli sıfırdan fərqli minoru tapmaq kifayətdir və onu ancaq minorunu öz daxilinə alan minorlar içərisində axtarmaq lazımdır. 2.İkinci üsul isə matrisin ranqını matrislər üzərində elementar çevirmələr aparmaq vasitəsilə təyin etməkdir. Matris ranqının xassələrini qeyd edək: 1.Elementar çevirmələr matrisin ranqını dəyişmir. 2.Elementar çevirmələr vasitəsilə matris pilləvari şəklə gəti-
3.Əgər elementar çevirmələr vasitəsilə matris diaqonal şəklə gətirilibsə,onda bu matrisin ranqı baş diaqonalda olan sıfırdan fərqli elementlərin sayına bərabərdir. Misal 1. Aşağıdakı matrisin ranqını haşiyələnən minorlar üsulu ilə tapın: . Həlli: , , , olduğu üçün . Misal 2. Elementar çevirmələr vasitəsilə aşağıdakı matrisin ranqını tapın: Həlli: . Alınmış pılləvari matris sıfırdan fərqli iki sətir saxlayır, deməli . Sərbəst çalışmalar Aşağıdakı matrisin ranqını haşiyələnən minorlar üsulu ilə tapın:
Aşağıdakı matrislərin ranqını elementar çevirmələr ilə tapın:
§7. Tərs matris Tərif. Əgər -tərtibli kvadrat matrisi üçün elə -tərtibli kvadrat matrisi varsa ki, olsun, onda matrisinə matrisinin tərsi deyilir. Bu halda matrisi də matrisinin tərsidir: , yəni və qarşılıqlı tərs matrislərdir. Determinantı sıfra bərabər olan kvadrat matrisinə cırlaşmış (və ya məxsusi) matris, əks halda isə cırlaşmamış (və ya qeyri-məxsusi) matris deyilir. Teorem (tərs matrisin varlığı üçün zəruri və kafi şərt). Verilmiş matrisinin tərs matrisi olması üçün onun cırlaşmayan olması zəruri və kafi şərtdir. Xüsusi halda iki və üç tərtibli cırlaşmayan matrislərin tərsi uyğun olaraq aşağıdakı düsturlarla təyin olunur:
burada və ya ilə matrisinə uyğun determinantın elementinin cəbri tamamlayıcısı işarə olunmuşdur. Tərs matrisin hesablanması aşağıdakı qayda ilə aparılır:
Verilmiş matrisin determinantı tapılır. Əgər olarsa, onda cırlaşmış olar və tərs matris yoxdur. Əgər olarsa, onda cırlaşmamış matrisdir və onun tərs matrisi var. Bu tərs matris aşağıdakı qayda ilə tapılır. 2. matrisinin transponirə olunmuş matrisi tapılır. 3. Transponirə olunmuş matrisin bütün elementləri uyğun cəbri tamamlayıcıları ilə əvəz edilir. 4.Alınmış sonuncu matrisin bütün elementləri -ya bölünür.
Beləliklə, . Nəticənin doğruluğunu yoxlayaq: . Sərbəst çalışmalar Aşağıdakı matrislərin tərsini tapın:
§1. Xətti tənliklər sistemi haqqında ümumi anlayış Tutaq ki, məchullu xətti tənliklər sistemi verilmişdir: (1) Verilən sistem olduqda bircins, ədədlərindən heç olmasa biri sıfırdan fərqli olduqda isə bircins olmayan xətti tənliklər sistemi adlanir. Məchullarin (1) sisteminin hər bir tənliyini ödəyən ədədlər çoxluğuna onun həlli deyilir.Həlli olan sistem uyuşan (və ya birgə), həlli olmayan sistem isə uyuşmayan (və ya birgə olmayan) sistem adlanır. Uyuşan sistemin yeganə həlli olduqda ona müəyyən, iki və ya daha çox həlli olduqda isə qeyri-müəyyən sistem deyilir. §2. Xətti tənliklər sisteminin matris şəkli və onun həlli (1) (§1.) sistemini ( ) matris tənlik adlanan şəklində yaza bilərik, burada ; ; işarələmələri aparılmışdır. -dəyişənlərin əmsallarından düzəldil- miş matris (və ya sistemin əsas matrisi), -dəyişənlərin sütun matrisi, isə sərbəst hədlərin sütun matrisidir. Bu tənlikdən matrisini tapmaq tələb olunur. matrisinin determinantı olarsa, onda tərs matrisi var, bu halda verilmiş tənliyin hər iki tərəfini soldan matrisinə vursaq, matrisini taparıq: Eyni qayda ilə və tənliklərinin də həllini, uyğun olaraq, aşağıdakı kimi tapmaq olar: Xətti tənliklər sisteminin göstərilən qayda ilə həlli onun matris üsulu ilə həlli deyilir. Misal 1. matris tənliyini həll edin. Həlli: Matris tənliyi ümumi şəkildə kimi yaza bilərik, onda : , onda , . Misal 2. tənliklər sistemini matris üsul ilə həll etməli. Məsələnin MatLab mühitində həlli:
§3. Kramer qaydası Tutaq ki, xətti tənliklər sistemində tənliklərin və dəyişənlərin sayı bərabərdir. Onda sistemin matrisi kvadrat matris olur və onun determinantı sistemin əsas determinantı adlanır. Xüsusi halda, əvvəlcə ikiməchullu iki xətti tənliklər sisteminin, yəni , (1) şəklində tənliklər sisteminin həllinə baxaq. Burada dəyişənlərin əmsallarından heç olmasa biri sıfırdan fərqlidir. Bu sistemi həll etmək üçün birinci tənliyi -yə, ikincini isə -yə vurub onları toplayıb dəyişənini yox edək. Sonra birinci tənliyi -ə, ikincini isə -ə vurub toplasaq, dəyişənini yox edək. Nəticədə belə bir sistem alarıq: . (2) Mötərizədəki ifadələr sistemin determinantıdır: . Belə bir işarələmə aparaq: , . və determinantları (1) sisteminin köməkçi determinantları adlanırlar. Beləliklə, (2) sistemi aşağıdakı şəklə düşər: . Alınan bu sistemdən görünür ki, əgər sistemin determinantı -dırsa, onda (1) sistemin yeganə həlli var və bu həll
düsturları ilə tapılır. Bu düsturlar Kramer düsturları adlanır. Beləliklə, aşağıdakı teorem isbat edildi.
Əgər və (və ya ) olarsa, onda alınır və (1) sistemi uyuşmayan olur. Əgər olarsa, onda alınır və (1) sistemi qeyri-müəyyən olur və sonsuz sayda həllə malik olur . İndi isə tutaq ki, üç məchullu üç xətti tənliklər sistemi verilmişdir: . (3) Bu sistemin də olduqda yeganə
həlli vardır. (4) düsturlarına Kramer düsturları deyilir. Burada
determinantına (3) sisteminin əsas determinantı, , , determinantları isə köməkçi determinantlar adlanır. Misal 1. Aşağıdakı xətti tənliklər sistemini Kramer üsulu ilə həll edin: . Həlli. Sistemin əsas və köməkçi determinantlarını hesablayaq: , , , . olduğuna görə, sistem yeganə həllə malikdir. Kramer qaydasına görə:
Misal 2. xətti tənliklər sistemini Kramer üsulu ilə həll edin. §4. Xətti tənliklər sisteminin Qauss üsulu ilə həlli Xətti cəbri tənliklər sisteminin ən universal və effektli həll üsullarından biri Qauss üsuludur. Bu üsula bəzən məchulları ardıcıl yoxetmə üsulu da deyirlər. Xətti tənliklər sisteminin Qauss üsulu ilə həllində tənliklər sisteminin ekvivalentliyi (eynigüclüyü) nəzəriyyəsinin bu esul ilə bağlı olan bəzi məsələlərini qeyd edək. Yəni verilmiş xətti tənliklər sisteminin həlli və araşdırılması zamanı verilən sistem üzərində elə çevirmələr aparmaq olar ki, alınmış sistem əvvəlki sistemə nəzərən daha sadə şəkildə olur. Eyni zamanda əvvəlki sistemlə eynigüclü olur. Təniklər üzərində aparılan çevirmələrə elementar çevirmələr deyilir. Bu çevirmələr aşağıdakılardır: 1. Sistemin tənliklərindən bir və ya bir neçəsinin hər iki tərəfindəki bütün hədlərini ədədinə vurmaq və ya bölmək. 2. Sistemin tənliklərində hədlərin yerini dəyişmək. 3. Sistemin tənliklərinin yerini istənilən qayda ilə dəyişmək. 4. Sistemin ixtiyari bir tənliyini hər hansı bir ədədə vurub, nəticəni sistemin başqa bir tənliyi ilə toplamaq və ya çıxmaq. Sadəlik üçün dördməchullu dörd xətti tənliklər sisteminə baxaq: (1) Tutaq ki, , əks halda olarsa, onda tənliklərin yerini elə dəyişirik ki, məchulunun əmsalı sıfırdan fərqli olsun. Düz addım. Bu mərhələdə sistem pilləvari hala (xüsusi halda, üçbucaq hala) gətirilir. Tənliklər üzərində elementar çevirmələr vasitəsi ilə birinci tənliyi saxlamaq şərti ilə sistemin qalan bütün tənliklərindən məchulunu yox edək. (1) sistemin birinci tənliyini -ə vurub və alınan tənlikdən ikinci tənliyi tərəf-tərəfə çıxaq, sonra birinci tənliyi -ə vurub alınan tənlikdən üçüncü tənliyi tərəf-tərəfə cıxaq və nəhayət, birinci tənliyi -ə vurub alınan tənlikdən dördüncü tənliyi tərəf-tərəfə çıxsaq, nəticədə aşağıdakı sistemi almış olarıq:
Burada , birinci addımdan sonra əmsalların və sağ tərəflərin alınmış yeni qiymətləridir. Analoji olaraq, olmasını nəzərə almaqla sistemin birinci və ikinci tənliklərindən başqa bütün qalan tənliklərindən məchulunu yox edək. Prosesi mümkün hala qədər bu qayda ilə davam etdirmək lazımdır. Əgər (1) sisteminin pilləvari hala gətirilməsi prosesində şəklində tənlik alınarsa, onda həmin tənliyi sistemdən kənar etmək lazımdır. Müəyyən addımlardan sonra sistemin heç olmasa bir tənliyi şəklində olarsa, onda (1) sistemi uyuşan deyil. Tərs addım. Bu addımda pilləvari sistemin həllini tapmaq tələb olunur. Pilləvari sistem, ümumiyyətlə, sonsuz sayda həllər çoxluğuna malikdir. Əgər pilləvari sistem üçbucaq şəklində olarsa, onda verilən sistem yeganə həllə malik olur. Bu halda sonuncu tənlikdən məchulunu, axırıcı tənlikdən əvvəlkindən məchulunu və bu qayda ilə sistem üzrə geri qayıdaraq qalan məchullarını tapırıq. (1) (§1) sistemindəki dəyişənlərin əmsalları ilə sərbəst hədlərdən düzəldilmiş və genişlənmiş matris adlanan matrisini düzəldək. Teorem (Kronekker-Kapelli). (1) sisteminin uyuşan olması üçün onun genişlənmiş matrisinin ranqının əsas matrisin ranqına bərabər olması ( ) zəruri və kafidir. Belə ki, 1) olduqda (1) sistemi uyuş- mayandır, 2) olduqda (1) sistemi uyuşandır və bu halda, sistemin ranqı sistemdəki məchulların sayını aşmır, yəni və ola bilər: a) ( -məchulların sayıdır) olduqda, sistemin həlli yeganədir və həmin həll Kramer düsturları vasitəsilə tapılır, b) olduqda isə sistemin həlli sonsuz saydadır və bu həll belə bir sxem üzrə hesablanır: olduqda, sistemin həllini tapmaq üçün onun əsas matrisinin tərtibli hər hansı bir bazis minoruna uyğun sayda tənliyindən yeni sistem qurulur. Həmin sistemdən, əmsalları bazis minorun elementləri olan, sayda məchullar (bazis dəyişənləri) qalan sayda məchullardan (sərbəst dəyişənlərdən) asılı şəkildə tapılır. Misal 3. Aşağıdakı xətti tənliklər sistemini Qauss üsulu ilə həll etməli: . Həlli. Misal 4. tənliklər sistemini Qauss üsulu ilə həll edin. Misal 5. Tənliklər sistemini Qauss üsulu həll etməli: . Həlli. Sistemin genişlənmiş matrisi üzərində elementar çevirmələri aparsaq, alarıq: ~ ~ ~ ~ . Beləliklə, verilən sistem pilləvari sistemə çevrildi:
Onda sistemin ümumi həlli , olar. Əgər, məsələn, , qəbul etsək, sistemin xüsusi həllərini alarıq: , , , §5. Bircins xətti tənliklər sistemi Tutaq ki, bircins (1) xətti tənliklər sistemi verilmişdir. Aydındır ki, (1) sistemi olduğuna görə həmişə uyuşandır və onun sıfır (trivial) həlli var. Teorem. (1) sisteminin sıfırdan fərqli həllinin olması üçün onun determinantının sıfra bırabər olması zəruri və kafidir. Əgər sistemin matrisinin ranqı dəyişənlərin sayına bərabərdirsə (ranq(A)=n), onda bircins xətti tənliklər sisteminin yalnız trivial həlli var. Əgər olarsa, onda olar, bu halda bircins sistem sıfırdan fərqli sonsuz sayda həllə malik olur. Tutaq ki, bircins üç məchullu üç xətti tənliklər sistemi verilmişdir:
Burada aşağıdakı hallar mümkündür: a) əgər -dırsa, onda sistemin yeganə həlli var,
biri sıfırdan fərqlidirsə, onda tənliklərdən biri digər ikisinin nəticəsi olur və sistem üçməchullu iki tənlikdən ibarət olur, bunun isə sıfırdan fərqli sonsuz sayda həlli var, с) əgər və determinantın bütün ikinci tərtib minorları sıfra bərabərdirsə, onda sistem üçməchullu bir tənliyə çevrilir və onun da sıfırdan fərqli sonsuz sayda həlli olur. Qeyd edək ki, bircins sistemin sıfırdan fərqli həlləri içərisində elə həllər vardır ki, onlar vasitəsilə digər həllər ifadə olunur. Bu sıfırdan fərqli həllər fundamental (bazis) həllər adlanır. Bu həlləri necə tapmalı? Bircins sistemn həlləri o zaman xətti asılı adlanır ki, bu həllərin xətti kombinasiyası yalnız və yalnız olduqda sıfır həllə malik olsun. Bircins sistemin həllər toplusu aşağıdakı şərtlər daxilində fundamental həllər sistemi (fhs) adlanır: bu toplu xətti asılıdır, bircins sistemin hər bir həlli bu toplu vasitəsilə xətti ifadə olunur. Teorem ( fundamental həllər sisteminin sayı haqqında). Əgər sistemin matrisinin ranqı dəyişənlərin sayından kiçikdirsə ( ) , onda fundamental həllər sistemi ( ) həllə malik olur. Misal 6. Bircins xətti tənliklər sistemini həll etməli: a) , b) , c) Həlli. a)Sistemin əsas determinantı oldu-ğu üçün sistemin yeganə sıfır həlli var: . b) Verilən sistemin əsas determinantı olduğundan, onda sistem sıfırdan fərqli həllə malik olur. Ancaq , onda əsas matrisin ranqı 2-yə bərabər olur. Qeyd edək ki, ikinci tərtib determinantı həm də bazis minorudur. Bu bazis minoru birinci və ikinci tənliyin və məchullarının əmsallarından düzəldiyindən, onda verilən sistem sistemi ilə eynigüclü olar. -i məlum hesab edərək sistemi Kramer üsulu ilə həll etsək, , alarıq. Beləliklə, verilən sistemin həlli şəklində olar. c) Sistemin matrisini pilləvari şəklə gətirək:
Onda . Beləliklə, (fhs) həllə malikdir; iki bazis dəyişən (məsələn, və ) və iki sərbəst dəyişən var: , . Sonuncu matrisə əsasən verilən sistemi onunla ekvivalent olan sistemlə əvəz edək:
Nəticədə, ümumi həll ( , şəklinə malik olur. , olarsa, onda , , əgər , olarsa, onda , olar. Beləliklə, verilən bircins sistemin iki və kimi xüsusi həllini almış oluruq, bunlar isə fundamental həllər sistemini təşkil edirlər. Verilən sistemin bütün həlləri fhs vasitəsilə ( ) düsturu ilə ifadə olunur. Sərbəst çalışmalar Aşağıdakı matris tənlikləri həll edin:
Aşağıdakı xətti tənliklər sistemini matris üsulu ilə həll edin:
Aşağıdakı xətti tənliklər sistemini Kramer üsulu ilə həll edin:
Aşağıdakı tənliklər sisteminin həllini Qauss üsulu ilə tapın:
Xətti bircins tənliklər sisteminin həllini tapın:
§6. Kvadrat matrisin məxsusi ədədləri və məxsusi vektorları Fərz edək ki, üüzbuvaqlı kvadrat mtrisi verilmişdir və 3´1 –ölçülü məchul matrisdir. üç ölçülü vektor olduğundan bir sütundan ibarət matris sütun vektor da deyirlər. (1) tənliyinə baxaq, burada ədədi qiymətlər alan parametrdir. Üç ölçülü vahid Е matrisindən istifadə etməklə bu tənliyi və ya
şəklində yaza bilərik. Açıq şəkildə yazsaq, (3) tənliklər sistemini alarıq. Aydındır ki, bu tənliyin trivial həlli var. Belə bir məsələ qoyaq: parametrinin hansı qiymətlərində (1) tənliyinin və ya (3) tənliklər sisteminin sıfır olmayan həlli var? (3) bircins tənliklər sisteminin sıfır olmayan həllinin həllinin varlığı üçün
Aydındır ki, xarakteristik determinantı üç dərəcəli cəbri çoxhədlidir. Məlumdur ki, üç dərəcəli çoxhədlinin üç (həqiqi və ya kompleks) kökü vardır (köklər təkrarlana da bilər). Buradan belə nəticə alınır: А matrisinin üç məxsusi ədədi vardır və bu məxsusi ədədlər (4) tənliyinin kökləridir. Bir xüsusi halı qeyd edək.
İkiölçülü simmetrik matrisi misalında asanlıqla göstərmək olar ki, simmetrik matrisin məxsusi ədədləri həqiqidir. Analoji olaraqг ölçülü kvadrat matrislərin məxsusi ədədləri və məxsusi vektorlarından danışmaq olar:
Misal 1. matrisinin məxsusi ədədlərini və məxsusi vektorlarını tapmalı. Həlli. matrisinin xarakteristik
çoxhədlisinin iki və kökləri vardır, bunlar isə matrisinin məxsusi ədədləridir. ədədinə uyğun məxsusi vektoru tapaq. (2) tənliyində olduğunu nəzərə alsaq, və ya bircins
tənliklər sistemini alarıq. Buradan isə ekvivalent tənliyini alınır. olduqda alarıq. Beləliklə, məxsusi ədədinə uyğun məxsusi vektor olar. Qeyd edək ki, məxsusi ədədinə uyğun məxsusi vektor, istənilən , vektorlarından biri ola bilər. məxsusi ədədinə uyğun məxsusi vektoru tapaq. (2) tənliyində olduğunu nəzərə alsaq, və ya aşağıdakı bircins
tənliklər sistemini alarıq. Buradan isə ekvivalent tənliyi alınır. olduqda alarıq. Beləliklə, məxsusi ədədinə uyğun məxsusi vektor olar. Qeyd edək ki, məxsusi ədədinə uyğun məxsusi vektor, istənilən , vektorlarından biri ola bilər. Yüklə 1,75 Mb. Dostları ilə paylaş:
|