Mavzu: Aniqmas integralda o’zgaruvchini almashtirish bo’laklab integrallash usullari Reja: Integrallash usullari; Aniqmas integralda o‘zgaruvchini almashtirish usuli; Aniqmas integralda bo‘laklab integrallash usuli

BEVOSITA INTEGRALLASH
BO’LAKLAB INTEGRALLASH
INTEGRLLASH USULLARI
Ko‘p hollarda integrallarni hisoblashda integral ostidagi funksiyani differensial belgisi ostiga “kiritish” usulidan foydalanadi. Funksiya differensialining ta’rifiga ko‘ra ’(x)dx=d((x)).
ko‘rinishdagi integralni hisoblash talab qilinsin. Bu integralda ’(x) ko‘paytuvchini differensial belgisi ostiga kiritamiz va so‘ngra (x)=u almashtirish bajaramiz. U holda quyidagiga ega bo‘lamiz:

=
integralni hisoblang.
=
3-misol. I=
Bu tenglikning chap tomonidan o‘ng tomoniga o‘tish (hosil qilish) ’(x) ko‘paytuvchini differensial belgisi ostiga “kiritish” deb aytiladi.
Aytaylik ushbu
Yechish. xdx=
ekanligidan foydalanamiz, u holda
bo‘ladi.
4-misol. I=
integralni hisoblang.
Yechish.
ekanligini ko‘rish qiyin emas.
. 4+3cosx=u deb belgilaymiz. Natijada
I=
hosil bo‘ladi.
Agar integral ostidagi funksiya ’(x)/(x) ko‘rinishda bo‘lsa, u holda ’(x) ko‘paytuvchini differensial belgisi ostiga kiritish orqali uni jadvaldagi integralga keltirish mumkin:
.
Masalan,
.
Bo‘laklab integrallash usuli. Bu usul ikki funksiya ko‘paytmasining differensiali formulasidan kelib chiqadi. Ma’lumki, agar u(x) va v(x) funksiyalar differensiallanuvchi funksiyalar bo‘lsa, u holda d(uv)=udv+vdu yoki udv=d(uv)-vdu bo‘ladi. Bu tenglikni ikkala tomonini integrallasak, udv= d(uv)- vdu, yoki
udv=uv - vdu (4)
formula hosil bo‘ladi. Bu formula bo‘laklab integrallash formulasi deyiladi. Bu formula yordamida udv ni hisoblash boshqa, vdu integralni, hisoblashga keltiriladi. Bu formuladan udv ga nisbatan vdu integralni hisoblash oson bo‘lganda foydalaniladi.
1-misol. xcosxdx ni hisoblang.
Yechish. u=x, du=x, v=sinx, dv=cosxdx belgilashlarni kiritamiz. U holda