Mavzu: Asosiy elementlar funksiyalarning hosilalari Ta’rif

Murakkab funksiyaning xosilasi.
Agar u o’zgaruvchi y o’zgaruvchining y=f(u) funksiyasi bo’lib, u esa o’z navbatida x ning funksiyasi u= (x) bo’lsa, u xolda y=f( (x)) funksiyani x ning murakkab funksiyasi deyiladi.
Teorema. Agar u= (x) funksiya o’zgaruvchi x nuqtada y_xo= o(x) xosilaga, y=f(u) funksiya esa o’zgaruvchi u bo’yicha yo=f o(u) xosilaga ega bo’lsa, u xolda y=f( (x)) murakkab funksiya xam shu x nuqtada

hosilaga ega bo’ladi.
Parametrik ko’rinishda berilgan funksiyaning xosilasi.
Agar tenglamamiz parametrik ko’rinishda berilgan bo’lib, (t), (t) funksiyalar differensiallanuvchi va o(t) 0 bo’lsa yaoni formula o’rinli bo’ladi.
Asosiy elementar funksiyalarning hosilalari.
1. y=xⁿ (x>0) darajali funksiyaning xosilasini topaylik. Funksiya xosilasining ta’rifiga ko’ra у=(х+ х) ^н-х^н=х ^н[ -1ё] ,
= = ;
=n ajoyib limitni e’tiborga olsak
= =nх^н-1. yо=(х^н)о=nх^н-1.
2. y= ^х ( >0 , 1) ko’rsatkichli funksiyaning xosilasi.
y= - ^х= ^х ( -1);
= ,
=ln ajoyib limitga ko’ra
yо= = = ^х = ^х ln .
demak, yо=( ^х)о= ^хln


3. y=log_ах (а>0, а 1) logarifmik funksiyaning hosilasi ham
yо=(log_ах)о= log_ае formula bilan topiladi.
Agar log_ае= ; log_еа=lnа ; log_ех=lnх ; log_хе= . ekanligini e’tiborga olsak yо=(log_ах)о= kelib chiqadi.
Agar а=е desak lnа=lnе=1 bo’lib, y=lnх ; yо=(lnх)о= bo’ladi.
4. y=sinх funksiyanig xosilasini topish uchun x ga x orttirma bersak u xam у orttirma olib y=sin(х+ х)-sinх=2sin( )cоs[ ] ,
yо= = [ ]=cоsх.
yо=(sinх)о=cоsх
xuddi shuningdek o’rta maktab dasturidan bizga mahlum bo’lgan boshqa trigonometrik funksiyalarning xosilalarini xisoblash mumkin:
(cоsх)о=-sinх ; (tgгх) о= ; (ctgх) о=- .


5. Endi y=arcsinx teskari trigonometrik funksiyaning xosilasini hisoblashni ko’raylik.
y=arcsinx funksiya x=siny funksiyaga teskari funksiya bo’lgani uchun, teskari funksiyalarning hosilalariga ko’ra
yо=(arcsinх) о= = = =
(arcsinх) о= , (-1<х<1).
Xuddi shuningdek
(arccosх) о=- ; (arctgх) о= ; (arcctgх) о= - .
6. y=lnх bo’lsa, yо= = ; agar y=lnu bo’lib y=f(х) bo’lsa,
yо=(lnu) о= = ;
agar y=у^в(х)(х) bo’lsa, lny=vlnu – bundan xosila olsak
=vо∙lnu+v∙ , yо=у ^в[vо∙lnu+v∙ ].