munosabatlar o’rinli. Ko’rinib turibdiki,
.
Shuning uchun (16) chiziqli tenglama to’liq differensialli tenglama emas.
Endi (16) differensial tenglamaning integrallovchi ko’paytuvchisini
ko’rinishda izlaymiz. Bu holda bo’lgani uchun
tenglik o’rinli bo’ladi. (14) tenglikdan esa
formula kelib chiqadi.
Teorema-4. Agar (1) differensial tenglamaning integallovchi ko’paytuvchisi bo’lib, uning integrali bo’lsa, u holda
(17)
funksiya ham (1) tenglamaning integrallovchi ko’paytuvchisi bo’ladi. Bu yerda ixtiyoriy differensiallanuvchi funksiya.
Isbot. Berilgan (1) differensial tenglamaning chap tomonini ga ko’paytirib
munosabatni hosil qilamiz. Bundan (17) tenglik bilan aniqlangan funksiya (1) differensial tenglamaning integrallovchi ko’paytuvchisi ekanligi kelib chiqadi.■
13-§. Koshi masalasi yechimining mavjudligi va yagonaligi.
Hosilaga nisbatan yechilgan
(1)
differensial tenglamaning
(2)
boshlang’ich shartni qanoatlantiruvchi yechimini topishgaKoshi masalasi deyiladi.
Teorema-1 (Koshi). Agar (1) differensial tenglamadagi funksiya
to’g’ri to’rtburchakda aniqlangan va uzluksiz bo’lib, o’zgaruvchi bo’yicha Lipshits shartini, ya’ni nuqtalar uchun shunday soni topilib
(3)
tengsizlikni qanoatlantirsa, u holda (1)-(2) Koshi masalasining
oraliqda aniqlangan va (2) boshlang’ich shartni qanoatlantiruvchi yagona yechimi mavjud. Bu yerda
. (4)
Izoh-1. Agar funksiya sohaning har bir nuqtasida xususiy hosilaga ega bo’lib,
shartni qanoatlantirsa, u holda funksiya to’g’ri to’rtburchakda o’zgaruvchi bo’yicha Lipshits shartini qanoatlantiradi.
Haqiqatan ham ixtiyoriy ikki nuqtalar uchun Lagranj teoremasiga asosan quyidagi
munosabat bajariladi. Bu yerda
Oxirgi munosabatdan va xususiy hosilaning chegaralanganligidan (3) tengsizlik kelib chiqadi.
Ammo, ba’zi hollarda hosilaga ega bo’lmagan funksiyalar ham (3) Lipshits shartini qanoatlantiradi.
Masalan. Ushbu funksiya nuqtada hosilaga ega emas, lekin
o’rinli. Bunda Lipshits o’zgarmasi bo’ladi.
Teoremani isbotlashdan oldin quyidagi misollarni qaraylik.
