Mavzu: Chiziqli tеnglamalar sistеmasi

7-§. Bernulli differensial tenglamasi.

Ushbu
(1)

ko’rinishdagi tenglamaga Bernulli differensial tenglamasi deyiladi. Bu yerda , ya’ni intervalda aniqlangan uzluksiz funksiyalar.
Agar bo’lsa, u holda

chiziqli differensial tenglama hosil bo’ladi.
Agar bo’lsa, u holda

bir jinsli chiziqli differensial tenglama hosil bo’ladi.
Aytaylik, bo’lsin. Ko’rinib turibdiki, (1) differensial tenglamaning yechimidan iborat. Agar bo’lsa, u holda (1) tenglamaning ikki tomonini ga bo’lib ushbu
(2)
differensial tenglamani hosilnqilamiz. Bunda
(3)
almashtirishni bajaramiz. Quyidagi

munosabatlardan foydalanib (2) tenglamani ushbu

ya’ni
(4)
ko’rinishda yozish mumkin. Bu esa chiziqli bir jinsli bo’lmagan differensial tenglamadir.


8-§. Rikkati differensial tenglamasi.

Ushbu
(1)

ko`rinishdagi tenglamaga Rikkati differensial tenglamasi deyiladi. Bu yerda bo’lib, .
Agar bo’lsa, u holda (1) differensial tenglama ushbu

ko’rinishni oladi. Bu esa chiziqli bir jinsli bo’lmagan differensial tenglamadir.
Agar bo’lsa, u holda (1) differensial tenglama

ko’rinishni oladi. Bu esa Bernulli differensial tenglamasidir.
Umumiy holda Rikkati differensial tenglamasi kvadraturada integrallanmaydi.
Shuni alohida qayd qilish lozimki, ayrim xususiy hollardagina Rikkati differensial tenglamasini kvadraturada integrallanishini ko’rsatish mumkin. Jumladan 1841 yilda Liuvill ushbu

ko’rinishdagi Rikkati differensial tenglamasi kvadraturada integrallanuvchi bo’lishi uchun soni butun bo’lishi kerakligini ko’rsatib berdi. Ammo Rikkati differensial tenglamasining ayrim xossalarini o’rganishimiz mumkin.
Lemma-1. Rikkati tenglamasi quydagi:
1.
2. Kasr-chizqli

amashtirishlarga nisbatan ko’rinishini o’zgartirmaydi.
Isbot. 1. Ushbu tenglikning ikki tomonini differensiallab
,
munosabatlarni topamiz. Bu tengliklarni (1) differenasial tenglamaga qo’yib
(2)
differensial tenglamani hosil qilamiz. Bunda ushbu

belgilashlardan foydalansak (2) tenglama

ko’rinishni oladi. Bu esa Rikkati differensial tenglamasidir.
2. Berilgan kasr-chiziqli almashtirishning ikki tomonini differensiallab
(3)
differensial tenglamani topamiz. Berilgan kasr-chiziqli almashtirish natijasida ushbu

kvadrat uchhadning o’zgarishini aniqlaymiz:
. (4)
Yuqoridagi (1) differensial tenglamadan va (3) hamda (4) munosabatlardan foydalanib quyidagi

tenglikni hosil qilamiz. Bu tenglik elementar amallar natijasida ushbu

ko’rinishni oladi. Bundan

kelib chiqadi. Bu esa Rikkati differensial tenglamasidir. ■