Lemma-2. Rikkati tenglamasini ushbu
(5)
almashtirishlar yordamida kanonik ko’rinishga keltirish mumkin:
. (6)
Isbot. Avvalo (5) almashtirishdan
(7)
topamiz. So’ngra (5) va (7) larni (1) differensial tenglamaga qo’yib
ya’ni
(8)
differensial tenglamani olamiz. Bu yerda
deb tanlansa, u holda
o’rinli bo’ladi. Natijada (8) differensial tenglama
(9)
ko’rinishni oladi. Bu differensial tenglamada ushbu
almashtirishni bajarib
ya’ni
(10)
differensial tenglamani topamiz. Oxirgi (10) tenglamada oldidagi koeffitsiyentni nolga tenglashtirsak
ya’ni
kelib chiqadi. Natijada (10) differensial tenglama
kanonik ko’rinishga keladi. Lemma isbotlandi. ■
Teorema-1. Agar Rikkati tenglamasining bitta xususiy yechimi ma’lum bo`lsa, u holda Rikkati tenglamasining barcha yechimlari ikkita kvadratura yordamida topiladi.
Isbot.Faraz qilaylik, funksiya (1) differensial tenglamaning xususiy yechimi bo’lsin. U holda
almashtirish natijasida (1) tenglama ushbu
(11)
ko’rinishni oladi. Teorema shartiga ko’ra
o’rinli. Bundan foydalanib (11) tenglamani
(12)
ko’rinishda yozish mumkin. Bu esa Bernulli differensial tenglamasidir, uning yechimi ikkita kvadratura yordamida topiladi. Chunki (12) tenglama
almashtirish yordamida chiziqli differensial tenglamaga keladi. Shunday qilib
(13)
almashtirish natijasidan Rikkati differensial tenglamasi chiziqli differensial tenglamaga keltirilar ekan. Teorema isbotlandi. ■
Teorema-2. Agar Rikkati tenglamasining ikkita xususiy yechimi ma’lum bo’lsa, u holda uning umumiy yechimi bitta kvadratura yordamida topiladi.
Isbot. Aytaylik va funksiyalar (1) differensial tenglamaning xusuiy yechimlari bo’lsin. U holda (12) differensial tenglamani
almashtirish yordamida
(14)
chiziqli differensial tenglamaga keltiramiz. (13) munosabatga asosan (14) tenglamaning bitta xususiy yechimi
bo’ladi. Bu holda (14) tenglamaning yechimi bitta kvadratura yordamida topiladi. Teorema isbot bo’ldi. ■
