Mavzu: Differensial tenglamalarni operasion hisob yordamida yechish. Reja: Kirish

Operatsion hisobning asosiy teoremalari

Bevosita ta’rif yordamida tasvirni topish har doim ham mumkin bo’lavermaydi, chunki hisoblanishi kerak bo’lgan integral murakkablashib ketishi mumkin. Biz Laplas almashtirishining shunday xossalariga to’xtalamizki, ular bir qancha sinfdagi funksiyalarning tasvirini topish imkonini beradi. Bundan tashqari ular tasvir ma’lum bo’lsa, originalni tiklash usullarini ifodalaydi.

2. 
   Teorema. (Originalning yagonaligi) Agar ƒ₁(𝑡) va ƒ₂(𝑡) funksiyalarning tasvirlari o’zaro teng bo’lsa, bu funksiyalar uzluksiz bo’ladigan barcha 𝑡 > 0 nuqtalarda ustma ust tushadi.
   
3. 
   Teorema. (Chiziqlilik) Agar ƒ(𝑡) ➛ 𝐹(𝑝) va 𝑔(𝑡) ➛ 𝐺(𝑝) bo’lsa, u holda ixtiyoriy 𝜆 va 𝜇 kompleks sonlari uchun
   

𝜆ƒ⁽𝑡⁾ + 𝜇𝑔⁽𝑡⁾ ➛ 𝜆𝐹⁽𝑝⁾ + 𝜇𝐺⁽𝑝⁾ (4)

• 
  Ta’rif bo’yicha 𝜆ƒ⁽𝑡⁾ + 𝜇𝑔⁽𝑡⁾ funksiyaning originalini integralning chiziqliligidan foydalanib topamiz
  

∞
𝐿^[𝜆ƒ⁽𝑡⁾ + 𝜇𝑔⁽𝑡^)] = ∫ ^[𝜆ƒ⁽𝑡⁾ + 𝜇𝑔⁽𝑡^)]𝑒^−𝑝𝑡𝑑𝑡 =
0
∞ ∞
= 𝜆∫ ƒ⁽𝑡⁾𝑒^−𝑝𝑡𝑑𝑡 + 𝜇∫ ƒ⁽𝑡⁾𝑒^−𝑝𝑡𝑑𝑡 = 𝜆𝐹⁽𝑝⁾ + 𝜇𝐺⁽𝑝⁾. ◄
0 0
Chiziqlilik teoremasiga misol tariqasida sin 𝜔𝑡 funksiyaning tasvirini topamiz.
sin 𝜔𝑡 = ¹ (𝑒^i𝜔𝑡 − 𝑒^−i𝜔𝑡) ➛ ¹ ( ¹ − ¹ ) = ^𝜔

2i 2i 𝑝 − i𝜔 𝑝 + i𝜔 𝑝² + 𝜔²

4. 
   Teorema. (O’xshashlik) Agar ƒ(𝑡) ➛ 𝐹(𝑝) bo’lsa, u holda ixtiyoriy
   

ƒ^(𝑎𝑡^)➛ ^1𝐹 (^𝑝) 𝑎 𝑎

(5)

𝑎 > 0 uchun

• 
  ƒ⁽𝑎𝑡⁾ funksiyaning tasvirini hisoblash uchun, integralda 𝑎𝑡 = 𝑟
  

almashtirish bajaramiz:
∞ ₁ ∞ _{𝑝 1} ∞ _𝑝
𝐿^[ƒ⁽𝑎𝑡^)] = ∫ ƒ⁽𝑎𝑡⁾𝑒^−𝑝𝑡𝑑𝑡 =
0
∫ ƒ⁽𝑎𝑡⁾𝑒^{−𝑎𝑎𝑡}𝑑⁽𝑎𝑡⁾ =
𝑎 ₀
∫ ƒ⁽𝑟⁾𝑒^−𝑎𝑐𝑑⁽𝑟⁾ =
𝑎 ₀
1 𝑝
= _𝑎 𝐹 ( )

𝑎

5. 
   munosabatni hosil qoldik.◄
   

5. 
   Teorema. (Siljish) Agar ƒ⁽𝑡⁾ ➛ 𝐹⁽𝑝⁾, 𝑎 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 bo’lsa, u holda
   

𝑒^𝑎𝑡ƒ⁽𝑡⁾ ➛ 𝐹⁽𝑝 − 𝑎⁾ (6)

• 
  Ta’rif bo’yicha 𝑒^𝑎𝑡ƒ⁽𝑡⁾ ning tasvirini topamiz
  

𝐿^[𝑒^𝑎𝑡ƒ⁽𝑡^)] =
∞ ∞
𝐿^[𝑒^𝑎𝑡ƒ⁽𝑡^)] = ∫ 𝑒^𝑎𝑡ƒ⁽𝑡⁾𝑒^−𝑝𝑡𝑑𝑡 = ∫ ƒ⁽𝑡⁾𝑒^{−(𝑝−𝑎)𝑡}𝑑𝑡 = 𝐹⁽𝑝 − 𝑎⁾.◄
0 0
Demak, siljish teoremasiga ko’ra originalni 𝑒^𝑎𝑡 ga ko’paytirish, tasvir argumentining 𝑎 qiymatga siljishiga olib kelar ekan. Bu teorema yordamida, agar
ƒ⁽𝑡⁾ funksiyaning tasviri ma’lum bo’lsa, 𝑒^𝑎𝑡ƒ⁽𝑡⁾ funksiyaning tasvirini topish mumkin.


LAPLAS ALMASHTIRISHLARINING CHIZIQLI DIFFERENSIAL TENGLAMALARNI YECHISHGA QOʻLLANILISHI.


O’zgarmas koeffitsentli chiziqli differensial tenglamalarni integrallash.
Bu masalaning Laplas operatorini qo’llanishga asoslangan ancha sodda yechish metodini ko‘rsatamiz.
Soddalik uchun ikkinchi tartibli chiziqli differensial tenglama bilan cheklanamiz. Shunday qilib, o’zgarmas koeffitsiyentli Chiziqli ikkinchi tartibli differensial tenglama berilgan bo‘lsin:
bu yerda а₁ va а₂— haqiqiy sonlar. Bu tenglamaning у(0) = y_о, у'(0)=у'₀, bu yerda у₀ va у'₀ berilgan sonlar, boshlang‘ich shartlarni qanoatlantiruvchi u (t) xususiy yechimini topish talab qilinadi.
Izlanayotgan y(t) yechim, uning у'(t), у" (t) hosilalari, differen­sial tenglamaning o‘ng tomoni f (t)
originallar bo‘lsin deb faraz qilaylik. deb belgilab va boshlang‘ich shartlardan foydalanib, y' (t) va y" (t) tasvirlarni topamiz:
Chiziqlilik xossasiga ko‘ra tenglamada tasvirlarga utamiz:

y"(t)+a₁y’(t)+a₂y(t)p²Y(p)-py₀-y’₀+a₁(pY(p)-y₀)+a₂Y(p)=F(p)

yoki

(р² + a_lp+ а₂) Y (р) = F (р) + ру₀ + у'₀ + а₁ у₀. (24)
tenglama yokamchi tenglama yoki differensial tenglamaga mos tasvirlardagi tenglama deyiladi. Shunday qilib, y(t) original uchun differensial tenglama o’rniga uning Y (p) tasviri uchun chiziqli algebraik tenglama hosil qildik.
Original y (t) uchun formula bilan aniqlanadigan Y (p) funksiya tasvir bo‘ladi. Ana shu y(t) differensial teng­lamaning izlanayotgan yechimi bo‘ladi.