Oʻzgarmas koeffitsiyentli oddiy chiziqli differensial tenglamalar uchun Koshi masalasini yechish. Quyidagicha differensial tenglamani koʻrib chiqamiz:
(1)
Quyidagicha boshlangʻich shartlarni bajaruvchi (1) tenglamaning yechimini qidiramiz:
, … , (2)
Aytaylik ; boʻlsin. (1) ni ikkala tomoniga Laplas almashtirishini va aslni differensiallash teoremasi, hamda Laplas almashtirishini chiziqlilik xossasiga koʻra, (2) boshlangʻich shartli (1) differensial tenglamani oʻrniga operator tenglamaga ega boʻlamiz:
(3)
Operator tenglamaning yechimini topamiz:
(4)
X(p) tasvir boʻyicha x(t) aslni topib, (1) va (2) Koshi masalasi yechimi x(t) ni topamiz.
Misol 1. ; x(0)=1; ; x(t)-?
u holda
kasrni soda kasrlarga yoyamiz:
; A, B, C-koeffitsiyentlarni topamiz.
Demak yechim
Oʻzgarmas koeffitsiyentli n-tartibli chiziqli differensial tenglamani yechish talab qilingan boʻlsin ; (1)
0 ga teng boʻlgan boshlangʻich shartlarda
(5)
yechimini topish talab qilinsin. Aytaylik
L(x)=1 (6)
tenglamaning (2) shartlarni bajaradigan yechimi aniq boʻlsin. Operator tenglamaga oʻtamiz:
, (7)
(8)
Operator koʻrinishdagi (7) va (8) tenglamalardan
Dyumel formulasiga koʻra:
(9)
ekanligini eʼtiborga olib
(10)
bundan (1) tenglamaning (5) nol boshlangʻich shartlardagi x(t) yechimi, quyidagicha boʻladi:
(11)
bunda (6) va (5) yordamchi masala yechimi.
Misol. Dyumel formulasi yordamida boshlangʻich shartlarni bajaruvchi differensial tenglamaning yechimi topilsin.
Yordamchi masalani koʻrib chiqamiz:
