1. Tasvirlarni differensiallash va integrallash Teorema 1

6-mavzu:Asl tasvirini integrallash va differensiallash haqidagi teoremalar. O’zgarmas koeffisentli differensial tenglama va tenglamalar sistemasini yechishning operatsion usuli..
1. Tasvirlarni differensiallash va integrallash


Teorema 1. Agar bo’lsa u holda
(1.2.1)
bo’ladi.
Misollar. 1) bo’lgani uchun formulaga asosan

2) dan
3) dan
Teorema 2. Agar bo’lsa, u holda:

Haqiqatdan ham yani . Bu tenglikni hadlab integrallash bilan ni olamiz yoki
V. Originalni differensiallash va integrallash


Teorema1. Agar bo’lsa, u holda bo’ladi.
Teorema 2. Agar bo’lsa, u holda bo’ladi.
Misol.
; .
Odatda funksiyaning tasviri uchun jadval tuziladi va amalda foydalaniladi.

2.1 § O’zgarmas koeffisiyentli chiziqli differensial tenglamalarni yechish

O’zgarmas koeffisiyentli chiziqli differensial tenglamalarning berilgan boshlang’ich shartni qanoatlantiruvchi xususiy yechimini Laplas almashtirishini qo’llash yo’li bilan topamiz:

1. 
   Avval ikkinchi tartibli chiziqli differensial tenglamani yechamiz:
   

(2.1.1)
tenglama berilgan bo’lsin; o’zgarmas sonlar. Bu tenglamaning boshlang’ich shartlarni qanoatlantruvchi y(t)-xususiy yechimini topish kerak. Tenglamani yechimi , uning hosilalari va o’ng tomoni - originallar bo’lsin. Agar va desak, u holda originalni differensiallab
,
larni topamiz.
Tasvirni chiziqlik xossasiga va (2.1.1) tenglamaga asosan:

(2.1.2)
(2.1.2)- tenglama (2.1.1) differensial tenglamaning yordamchi tenglamasi yoki tasvirlovchi tenglamasi deyiladi.
Natijada original - uchun (2.1.1) differensial tenglama o’rniga uning tasviri - uchun (2.1.2) algebraik tenglamani hosil qildik.
(2.1.2) tenglikdan
(2.1.3)
(2.1.3) formula (2.1.2) tenglamaning operator yechimidir. - tasvirga asosan -originalni ya’ni (2.1.1) tenglamani yechimini topamiz.
Misol. 1) differensial tenglamaning
boshlang’ich shartlarni qanoatlantiradigan hususiy yechimi topilsin.
Yechish.

Bo’lgani uchun (2.1.3) formulaga asosan:

jadvaldan - izlangan yechim bo’ladi.
2) tenglamaning shartlarni qanoatlantiruvchi yechimi topilsin.
Yechish.

oxirgi kasrni elementar kasrlarga ajratamiz:

bundan jadvalga ko’ra
.

2. 
   Endi n- tartibli chiziqli differensial tenglama olamiz:
   

(2.1.5)
bunda o’zgarmas koeffitsentlar. Bu tenglamaning boshlang’ich shartlarni qanoatlantiruvchi xususiy yechimini topamiz.

1. 
   tenglamani hadlab ga ko’paytramiz, (bunda ) va 0 dan gacha oraliqda bo’yicha integrallaymiz:
   

Bu tenglamani chap tomonida funksiya va uning hosilalarining tasvirlari, o’ng tomonida funksiyaning tasviri turibdi:

yoki

(2.1.6)
(2.1.6)- tenglamani quyidagicha yozish mumkin:

(2.1.7)
(2.1.6) va (2.1.7) tenglama (2.1.5) differensial tenglamaning yordamchi tenglamasi yoki tasvirlovchi tenglamasi deyiladi.
Agar va

deb belgilasak, u holda

bo’ladi
(2.1.8)
Bu esa – funksiyani tasviridir, yani . Agar bo’lsa, u holda (2.1.8) dan
(2.1.9)
kelib chiqadi.
Misollar: 1) tenglamaning y(0)=0 boshlang’ich shartni qanoatlantiruvchi yechimi topilsin. jadvaldan
tenglamani yechimi ekanini topamiz.
2) bo’lsa
;
.
3) boshlang’ich shartli ;
.
4) boshlang’ich shart
yoki
yoki
jadvaldan .