1-§.Ikki karrali integral va uni hisoblash. funksiya sohada berilgan va integrallanuvchi bo‘lsin.
1-teorema. Agar o‘zgaruvchining har bir tayin qiymatida
integral mavjud va chekli bo‘lsa, u holda
integral ham mavjud bo‘ladi va
bo‘ladi.
Isbot. sohani
bo‘laklarga ajratamiz. Bu bo‘linishni deb belgilaymiz. Uning diametri
.
funksiya sohada integrallanuvchi ekan, u shu sohada chegaralangan bo‘ladi. Binobarin, funksiya har bir da chegaralangan, demak, u shu sohada aniq yuqori hamda aniq quyi chegaralariga ega bo‘ladi.
Ravshanki, uchun , xususan uchun ham bo‘ladi. Teoremaning shartidan foydalanib quyidagini topamiz:
ya’ni
Agar keyingi tengsizliklarni ning qiymatlarida yozib, ularni hadlab qo‘shsak, u holda
ya’ni
bo‘ladi.
Endi keyingi tengsizliklarni ga ko‘paytirib, so‘ng hadlab qo‘shamiz. Natijada
bo‘ladi.
Ravshanki,
funksiya uchun Darbuning quyi yig‘indisi,
esa Darbuning yuqori yig‘indisidir. Demak,
. (1)
Shartga ko‘ra funksiya da integrallanuvchi. U holda da
bo‘ladi.
munosabatdan esa,
yig‘indining limitga ega bo‘lishi va bu limit
ga teng bo‘lishi kelib chiqadi:
.
Agar
va
ekanligini e‘tiborga olsak,unda
bo‘lishini topamiz. Bu esa teoreman isbotlaydi.
2-teorema. funksiya sohada berilgan va integrallanuvchi bo‘lsin. Agar o‘zgaruvchining har bir tayin qiymatida
integral mavjud bo‘lsa, u holda ushbu
integral ham mavjud bo‘ladi va
bo‘ladi.
1-natija.Agar funksiya sohada berilgan va uzluksiz bo‘lsa, u holda
integrallarning har biri mavjud va ular bir biriga teng bo‘ldi.
3-teorema. funksiya sohada berilgan va integrallanuvchi bo‘lsin. Agar o‘zgaruvchining har bir tayin qiymatida
integral mavjud bo‘lsa, u holda ushbu
integral ham mavjud bo‘ladi va
bo‘ladi.
4-teorema. funksiya sohada berilgan va integrallanuvchi bo‘lsin. Agar o‘zgaruvchining har bir tayin qiymatida
