Mavzu: irratsional sonlar va trassendent sonlar

Yechish. Bizga ma’lumki va formulaga asosan deb, quyidagiga ega bo’lamiz:

3-misol. ifodani soddalashtiring. 
Yechish. Agar berilgan ifodani soddalashtirishda uning aniqlanish soxasi avvaldan berilmagan bo’lsa, u holda aniqlanish soxasi topib olinadi.

bo’lishini hisobga olsak,


Ratsional va irratsional sonlar birgalikda haqiqiy sonlarni tashkil qiladi.
Haqiqiy sonlar uchun quyidagi xossalar o’rinli:
1) A=B bo’lsa B=A bo’ladi.
2) A>B va B>C bo’lsa, A>C bo’ladi.
3) A>B bo’lsa, C ixtiyoriy son uchun
4) A>B bo’lib, C>0 bo’lsa, …
5) Agar A>0, B>0 bo’lib, A>B bo’lsa, u holda …(teskarilari)
Haqiqiy sonlar to’plamida bajariladigan amallar va munosabatlar:
1⁰.  2⁰. 
3⁰.  4⁰. 
5⁰.  6⁰. 
Amallardan
a va b sonlarning ayirmasi a-b deb, a=b+x shartni qanoatlantiruvchi x songa aytiladi. Ta’rifga ko’ra x = a-b
Bo’linma ta’rifini yozing.


Tarix

Irratsional sonlar tushunchasi hind matematiklari tomonidan miloddan avvalgi 7-asrda, Manava (miloddan avvalgi 750-yillar - miloddan avvalgi 690-yillar) 2 va 61 kabi baʼzi natural sonlarning kvadrat ildizlarini aniq ifodalab boʻlmasligini aniqlaganida soʻzsiz qabul qilingan.

Irratsional sonlar mavjudligining birinchi dalili odatda pifagoriyalik Metapontlik Gipasga (miloddan avvalgi 500-yillar) tegishli boʻlib, bu dalilni pentagramma tomonlarining uzunliklarini oʻrganish orqali topgan. Pifagorchilar davrida, etarlicha kichik va bo'linmaydigan yagona uzunlik birligi borligiga ishonishgan, bu har qanday segmentga kiritilgan butun sondir. Biroq, Gipasus uzunlikning yagona birligi yo'qligini ta'kidladi, chunki uning mavjudligini taxmin qilish qarama-qarshilikka olib keladi. U ko'rsatdiki, agar teng yonli to'g'ri burchakli uchburchakning gipotenuzasi birlik segmentlarining butun sonini o'z ichiga olsa, u holda bu raqam bir vaqtning o'zida ham juft, ham toq bo'lishi kerak. Dalil shunday ko'rinardi:

1. 
   Gipotenuzaning uzunligini teng yonli to'g'ri burchakli uchburchakning oyog'i uzunligiga nisbati quyidagicha ifodalanishi mumkin. a:b, qayerda a Va b mumkin bo'lgan eng kichik sifatida tanlanadi.
   
2. 
   Pifagor teoremasiga ko'ra: a² = 2 b².
   
3. 
   Chunki a² hatto, a juft bo'lishi kerak (chunki toq sonning kvadrati toq bo'lar edi).
   
4. 
   Shu darajada a:b qaytarilmas b g'alati bo'lishi kerak.
   
5. 
   Chunki a juft, belgilang a = 2y.
   
6. 
   Keyin a² = 4 y² = 2 b².
   
7. 
   b² = 2 y², shuning uchun b demak, teng bo'ladi b hatto.
   
8. 
   Biroq, bu isbotlangan b g'alati. Qarama-qarshilik.
   

Yunon matematiklari bu nisbatni tengsiz miqdorlar deb atashgan alogos(ta'riflab bo'lmaydigan), ammo afsonalarga ko'ra, Gipasga munosib hurmat ko'rsatilmagan. Rivoyatlarga ko'ra, Gipas dengizda sayohat qilganida kashfiyot qilgan va boshqa Pifagorchilar tomonidan "koinotdagi barcha mavjudotlarni butun sonlarga va ularning nisbatlariga qisqartirish mumkinligi haqidagi ta'limotni inkor etuvchi koinot elementini yaratgani uchun uloqtirilgan". " Gipasning kashfiyoti Pifagor matematikasi uchun jiddiy muammo tug‘dirib, raqamlar va geometrik jismlar bir va bir-biridan ajralmas degan butun nazariya asosidagi taxminni yo‘qqa chiqardi.