Mavzu: Maksvelning birinchi va ikkinchi juft tenglamalari (diferensial va integral korinishi). Elektr va magnit maydnning ozaro aylanishi

5. Siljish toklari to'g’risida tushuncha. Elektr maydonning o`zgarishi va bu o`zgarish tufayli vujudga kelayotgan magnit maydon orasidagi miqdoriy bog’lanishni topish uchun siljish toki tushunchasini kiritamiz.
Bu tushunchani quyidagi tajriba jarayonida o`rganamiz. Kondensatorli zanjirdan kvazistatsionar o`zgaruvchan tok oqqanda kondensator plastinkalarini birlashtiruvchi o`tkazgichlar orqali zaryad o`tadi, lekin plastinkalar oralig’idagi dielektrikdan o`tmaydi. Natijada o`zgaruvchan tokning zanjir bo`ylab oqishi kondensatorning zaryadlanishi va razryadlanishidan iborat bo`ladi.
Shunday qilib, o`tkazuvchanlik tokining chiziqlari kondensator plastinkalarining bir-biriga qaragan sirtlarida uzilib qoladi. Maksvell bu fikrga qarama-qarshi bo`lgan g’oyani ilgari surdi. Uning fikricha har qanday o`zgaruvchan tok zanjirlari ham berk bo`ladi. Faqat zanjirning o`tkazgich bo`lmagan qismlarida, ya`ni kondensator plastinkalari oralig’ida "siljish toki" deb ataladigan tok oqadi. Uni quyidagicha tushunamiz. Zanjirdan o`tayotgan tokning oniy qiymati I bo`lsin. Shu momentda kondensator plastinkalaridagi zaryad miqdori q deb, ularning sirt zichligini esa deb belgilaylik. U holda kondensator plastinkalari ichidagi o`tkazuvchanlik toki zichligining qiymati
.
Shu momentda plastinkalar oralig’idagi elektr maydon kuchlanganligining qiymati ga teng.

Maydonning elektr induksiyasi esa

.
Vaqt o`tishi bilan plastinkalardagi zaryadning sirt zichligi o`zgaradi. Bu esa elektr maydon induksiyasi qiymatining o`zgarishiga sabab bo`ladi.


Elektromagnit maydon uchun Maksvell differensial tenglamalar sistemasi elektromagnit maydonning barcha muhim xossalarini ifodalovchi tenglamalarni mujassamlantiradi. Ularning mukammalligini G .Gers quyidagicha ifodalagan: «Ba’zan ular bizdanda aqlliroqdek tuyuladi». Maksvellning elektromagnit maydonlar haqidagi katta nazariy risolasi (o‘sha paytda, XIX asrda traktat atamasi ishlatilgan) 550 betga yaqin hajmga ega edi. Biz Maksvell tenglamalari deb o‘riganadigan tenglamalar uning turli bo'limlarida keltirib chiqilgan va muhokama qilingan. Tenglamalaming soni to‘rt emas, undan ortiq edi. Ko‘plab tenglamalardan muhimlarini ajratib olish, ularni yagona sistema sifatida o‘rganish va targ‘ib qilish, ulardan muhim xulosalar chiqarish sharafli ishi G .Gers tomonidan amalga oshirilgan. Shundan beri deyarli bir yarim asr o'tib, fizika fani beqiyos yutuqlarga erishganiga qaramay, Maksvell tenglamalariga o‘zgartirish kiritilmagani — fandagi ajablanarli holdir. Demak, Maksvell tenglamalari o ‘sha davrda mukammallikka erishib, elektrom agnit maydonlarning xossalarini to ‘liq tavsiflagan. Bu ifodalarning birinchisidan rotor olamiz: O’ng tomondan birinchi had aynan nolga tengligini hisobga olib elektir maydonni aniqlovchi quyidago tenglamani olamiz: Bu yerda H=rot A ni hisobga oldik. Bu tenglamadan quyidagi xulosa kelib chiqadi: Vaqt bo‘yicha o‘zgaruvchi magnit maydon uyurmali elektr maydonni yuzaga keltirib chiqaradi. Endi magnit maydonni aniqlovchi birinchi tenglamani hosil qilamiz. Buning uchun magnit maydon kuchlanganligidan divergensiya olamiz va div rot A = 0 ekanligini hisobga olib quyidagini hosil qilamiz: Bu tenglama magnit maydonni hosil qiluvchi manba - magnit zaryadlari yo ‘qligini ko‘rsatadi. Maksvell 1 - tenglamasining differensial ko`rinishi shuni tasdiqlaydiki, H vektor EMM ning istalgan nuqtasida shu nuqta orqali oqib o`tuvchi o`tkazuvchanlik va siljish toklarining algebraik yig`indisiga teng. Rotor vektor kattalik bo`lganligi uchun, tenglamaning o`ng va chap qismlaridagi bir nomli proeksiyalari bo`yicha tenglik saqlanadi. Elektr maydonning o`zgarish tezligi siljish tokining zichligini namoyon qiladi: Elektr va magnit maydon kuchlanganligi uchun yana ikkita tenglamani odatdagidek variatsion prinsip asosida olamiz. Bunda variatsiyalanuvchi umumlashgan koordinata sifatida ta’sir integralida maydon potensiallarini olamiz. Ularni zaryadlar zichligi p(r, t) va tok zichligi j ( r , t) bilan to'liq aniqlangan deb hisoblaymiz. Ta’sir integrali ning birinchi hadida maydon kattaliklari ishtirok etmaydi, shuning uchun uning variatsiyasi nolga teng. Ikkinchi hadda j i (r,t) variatsiyalanmaydi. Bularni hisobga olib, ta’sir integralining variatsiyasini yozamiz: Maksvellning ikkinchi defrensial tenglamasi     V V divD dV dV Integral olinadigan hajm ixtiyoriy tanlangan bo‘lsa, yuqoridagi munosabat har ikkala qismdagi integral ostidagi ifodalar fazoning har bir nuqtasida birday qiymatga ega bo‘lgan holdagina bajariladi, ya’ni: divD   Ostrogradskiy-Gauss teoremasini formulaga qo‘llasak, quyidagi ifodani hosil qilamiz: divB  0 Shunday qilib, Maksvell tenglamalari differensial shaklda quyidagicha yoziladi: t B rotB     divB  0 Yuqoridagi tenglamalarning birinchi jufti. t D rotH j     divD   Bu tenglamalarni yechishda ularni tashkil qilgan kattaliklar orasida mavjud bo‘lgan quyidagi munosabatlardan ifodalanadi: D   0E B  0H j  E Yuqoridagi formulalar shaklda berilgan Maksvellning fundamental tenglamalari elektromagnit maydonni to‘liq tenglamalar sistemasini tashkil qilmaydi. Bu tenglamalarga muhitni xos xususiyatlarini harakter-laydigan kattaliklarini qo‘shish kerak. Muhitni xos xususiyatlarini harakterlaydigan kattaliklarini bog‘lanishlari moddiy tenglamlar deyiladi. Moddiy tenglamalar quyidagiga teng: D   0E B  0H j  E bu yerda ε, μ,  - muhitning elektromagnit xususiyatlarini harakterlaydigan kattaliklar. Yettita tenglamlar, ya’ni Moddiy tenglamalarning jami tinch holatdagi muhit elektrodinamikasining asosini tashkil qiladi.