Mavzu: Matematikani rivojlanish tarixining davrlari Kirish

BD x

4-rasm
S_ECDN=10 ^х , S_ACDB= ^{х 2} (2)
Tenglama va (2) ni e’tiborga olsak, S_EABN=21 bo’lishi kerak.

1. 
   ND o’rtasidan FK perpendikulyar chiqarib, uning davomiga tomoni 5- ^х bo’lgan LKHQ kvadrat yasaymiz. Qolgan qismiga NLQE to’gri to’rtburchakni joylashtirish natijasida tomoni 5 va yuzi S_MKFN=25 (3) bo’lgan kvadrat hosil bo’ladi. Yasashga ko’ra S_MNQE=S_QHFP =S_HABF = ^х (5- ^х ) bo’lib, S_EABN=S_MLQHFN=21 U
   

holda S_LH=S_MF - S_MLQHFN bo’ladi. (5) (5), (3) va (4) tenglamalardan: 25-21=(5

- х )² yoki (5- х )²= 4. U holda LKHQ kvadratning tomoni 5- х =2 yoki х =3 bo’lib, nomaьlum kvadratning tomoni VD=3 bo’ladi. Bu tenglamaning bitta echimidir.
Ikkinchi x=7 echimni topish uchun shaklga o’`zgartirish kiritilinadi.
Bu misoldan shu narsa maьlum buladiki, kvadrat tenglamaning (keltirilgan)

musbat ildizlarini topish formulasi
^х 1,2
ni algoritm ko’rinishida

birinchi bo’lib Xorazmiy topgan ekan.

Tenglamalar echish bobidan so’ng Xorazmiy misolda algebraik ifodalar usti- da amallarni bajarish qoidasini bayon etadi. Ratsinal algebraik ifodalar ustida turt amaldan tashqari, kvadrat ildizlarni bir-biriga ko’paytirish va bo’lish hamda ko’paytuvchini kvadrat ildiz ishorasi ostiga kiritish amallari bajariladi. Algebraik ifo- dalar ustida avval ko’paytirish so’ng qo’shish va ayirish, oraliqda esa bo’lish amalini bajaradi. Bir qadni ko’p hadga va ko’p hadni ko’p qadga ko’paytirish amallarini avval aniq sonlarda, so’ng ratsional kvadrat irratsionallikda ko’rsatiladi. Butun musbat va manfiy sonlarni hozirgi terminda “plyus”va “minus” deb atalmasdan
(yoki shuncha o’xshash) qo’shiluvchi va ayriluvchi sonlar maьnosida bajaradi va ular ustidagi amallarni ko’rsatadi.
Masalan: “Agar birsiz o’nni birsiz o’nga ko’paytirsang, bu o’nning-o’nga ko’`paytmasi yuz ayriluvchi birini o’nga -bu ayriluvchi o’n yana ayriluvchi birni o’nga
-bu ayriluvchi o’n, hammasi birgalikda sakson, ayriluvchi birni ayriluvchi birga qo’shiluvchi bir va bular hammasi birgalikda sakson-bir . (Xorazmiy, Matematika traktati, T., 1964, 33b.).
Ya’ni qozirgi belgilarda: (10-1)(10-1)=10^.10-1^.10-10^.1+1=100-10- 10+1=80+1=81.
Algebraik ifodalar ustida ammallar bajarish bobidan so’ng yuqorida keltiril- gan oltita tipdagi tenglamalarga keltiriladigan va praportsiya yordamida echiladi- gan sonli masalalarni echish qoidasini beradi.
Asarning so’nggi bobi “Vasiyat haqida kitob“ (butun asarning 2/5 qismi) deb atalib, asosan kundalik talablarga va musulmon huqukiy normalariga qarab meros taqsimlashga bag’ishlangan. Bu masalarni asosan to’rt gruhga bo’lish mumkin:

1. 
   ax+vu=0 (butun echimlari);
   
2. 
   ax+vu=d (d- butun bo’lganda, butun echimlarni topish);
   
3. 
   ax=v;
   
4. 
   sof arifmetik masalalar.
   

Yuqoridagilardan shu narsa ma’lum bo’ladiki, Xorazmiyning arifmetika, algebra va geometriyaga doir asari kundalik amaliy maqsadlarga moslab tuzilgan, nazariy elementlarni o’z ichiga olgan amaliy elementar matematikadan iboratdir. Xorazmiyning astronomiyaga doir “Zij “ (astronomiya jadvallari) va Ptolomeyning geografiyaga bag’ishlangan asarlariga qiyosiy qilib “Kitob surat al-arz” asarlarini yozadi. Bu geografiya va geodeziyaga bag’ishlangan muhim asardir.

Ўrta asrlarda yashagan o’rta osiyolik olimlar orasida buyuk astranom, matematik va geograf al – Farғoniy salmoqli o’rin egallaydi.
Olimning to’liq ismi Abul Abbos Ahmad ibn Muhammad ibn Kosir al – Farғoniydir. Manbalarda uning farғonalik ekanligidan tashqari deyarli boshqa ma’lumotlar saqlanmagan.
Ahmad al – Farg’oniy hayoti, ilmiy izlanishlari va kamoloti Abbosiylar sulolasi hukm surgan, Arab xalifaligi jahonning eng yirik saltanatlaridan biriga aylanib, uning ijtimoiy – siyosiy va madaniy hayotida Movarounnahr, Xorazm va Xurosondan kelgan ko’plab mutafakkirlar muhim o’ringa ega bo’la boshlagan tarixiy davrda kechdi.
Ahmad al – Farғoniy xalifa Horun ar Rashid vorislari al Ma’mun, Mu’tasim va mutavvakil hukumronlik qilgan davrda yashadi hamda avval Mavr, so’ngra Boғdod, Damashq va Qohira shaharlarida ilmi hay’ot (falakkiyotshunoslik-astranomiya), riyoziyot (matematika) fanlari bilan shuғullangan va amaliy hamda bir qator ilmiy asarlar yozib qoldirgan.
Ahmad al – Farғoniy avval Boғoddagi rasadxonada ish olib bordi, so’ngra al – Ma’mun topshiriғiga binoan Damashqdagi rasadxonada osmon jismlari harakati va o’rnini aniqlash , yangicha «Zij» yaratish ishlariga rahbarlik qildi.
Ahmad al – Farғoniy yunon astranomlari, jumladan Ptolomeyning
«Yulduzlar jadvali» asarida berilgan ma’lumotlarni ko’rib chiqish hamda o’sha davrdagi barcha asosiy joylarning jo’ғrofiy koordinatalarini yangitdan aniqlash yuzasidan olib borilgan muhim tadqiqotlarda faol ishtirok etdi .
U ayrim astranomik asboblarni ixtiro etish, falakkiyotshunos-likka doir arab tilidagi boshlanғich bilimlarni belgilash va tartibga solish ishlariga ham muhim hissa qo’shdi. 832 – 833 yillarda Ahmad al – Farғoniy Shom (Suriya) ishmomidagi Sinjar dashtida Tadmur va ar – Raqqa oraliғida er meridianiani bir darajasidaning uzunligini o’lchamida qatnashgan . Ahmad al – Farғoniy hayoti va ilmiy hamda amaliy faoliyati to’ғrisidagi eng so’nggi ma’lumot 861 yilga mansubdir. Ўsha yili Abbosiy xalifa Abul Fazl Ja’far al – Mutavakkil buyruғiga binoan Nil daryosidagi suv sathini o’lchaydigan inshoat barpo etish uchun Misrning Qohira yaqinidagi Fustot shahriga keladi .
Ilmiy – texnik va me’moriy jihatdan ғoyat uluғvor bu qurilma Nil daryosining Sayolat ul – Rad mavzesida hozirga qadar saqlanib qolgan. o’archi Ahmad al – Farғoniy haqida ma’lumotlar juda oz bo’lsada , ammo o’rta asrlarda sharq ilmiy dunyosida uning nomi mashhur bo’lgan .
Farғoniyning birinchi mustaqil asri «Astranomiyaga kirish» deb ataladi. Bu asarda u o’zigacha yashagan astranomlarning ishlarini tartibga solib, izchil bayon etadi va ularda uchraydigan ba’zi kamchiliklarni tanqid qiladi.
Shu asari bilan Farғoniy o’zining etuk astranom ekanini ko’rsatdi. Farғoniy avvalroq astranomiyani chuqur egallaganini isbotlab, 812 yil Quyosh tutilishini oldindan aytib bergan edi .

Yozma manbalarda qayd etilishicha Ahmad al – Farғoniy ilk o’rta asr fa- lakiyot, riyoziyot va geografiya yo’nalishida bir nechta ilmiy va amaliy asarlar yozib qoldirgan. Uning asosiy astranomik asari – «Kitob al – harakat as-samoviya va javomi’ ilmi an-nujum» (« Samoviy harakatlar va umumiy ilmi nujum kitobi»). Bu asar «Astranomiya asoslari haqidagi kitob» nomi bilan ham ma’lum bo’lib 1145 va 1175 yillarda Evropada lotin tiliga tarjima etiladi .

Shundan so’ng Ahmad al – Farғoniy nomi lotinlashtirilib «Alfraganus» shaklida Ғarbda shuxrat topadi. Uning «Astranomiya asoslari haqidagi kitob» asaridan bir necha asrlar davomida Evropa universitetlarida asosiy darslik sifati- da foydalanilgan, chunki bu kitob zamonasidagi astranomiya haqidagi eng mu- him va zarur bo’lgan bilimlarni o’z ichiga olgan . Uning geografiyaga oid bo’limi Er yuzasidagi mamlakatlar va shaharlar haqidagi eng boshlanғich va zaruriy bi- limlarga baғishlangan bo’lib, «Erdagi ma’lum mamlakatlar va shaharlarning nomlari va har bir iqlimdagi hodisalar haqida» deb ataladi. Bunda etti iqlimning hammasi ulardagi mamlakatlar, viloyatlar va shaharlari bilan birga tavsiflanadi.
Ahmad al – Farғoniyning bu asarida falakiyot va geografiya ilmlarining asosiy mazmuni, vazifalari va qismlari tushunarli dalillar bilan sodda bayon eti- ladi. Xususan, Erning dumaloqligi, bir xil osmon yoritqichlarining turli vaqtlarda ko’tarilishi, tutilishi va bu tutilishning har bir joydan turlicha ko’rinishi o’zgarishi haqida qimmatli mulohazalar bildiradi. Umuman, Ahmad al – Farғoniyning «Astra- nomiya asoslari haqidagi kitob» asari o’rta asr musulmon Sharq mamlakatlari- dagi, so’ngra Ispaniya orqali Evropa mamlakatlaridagi astranomiya ilmining ri- vojini boshlab berdi.
Qadimgi yunon ilmi, jumladan, astranomik ilmlar ham birinchi bor arab- chadan tarjima qilingan risolalar orqali ma’lum bo’ldi. Ahmad al – Farғoniy asa- rining lotincha tarjimasi birinchi marta 1493 yilda tosh bosma usulida nashr etildi. 1669 yil mashhur golland matematigi va arbshunosi Yakob o’olius Ahmad al – Farғoniy asarining arabcha matnini yangi lotincha tarjimasi bilan nashr et- ganidan so’ng Ahmad al – Farғoniyning shuxrati yanada ortdi. Evropa uyғonish davrining mashhur olimi Reshomontan XV asrda Avstriya va Italiya universitetla- rida astranomiyaga doir ma’ruzalarini Ahmad al – Farғoniy asarlari asosida o’qigan. Ahmad al – Farғoniy nomi Dante va Shiller tomonidan tilga olinadi.
Ahmad al – Farғoniyning sakkiz asari ma’lum bo’lib, ularning hammasi as- tranomiyaga aloqador. Ular quyidagilardir: yuqorida tilga olingan asar, odatda uni
«Astranomiya asoslari haqidagi kitob» nomi bilan ham atashadi – qo’lyozmalari dunyo kutubxonalarining deyarli barchasida bor, «Asturlab yasash haqida kitob»
- qo’lyozmalari Berlin , London, Mashqad , Parij va Tehron kutubxonalarida , «As- turlab bilan amal qilish haqida kitob» - birgina qo’lyozmasi Rampurda (Hindiston),
«Al – Farғoniy jadvallari» - qo’lyozmasi Patnada (Hindiston), «Oyning Er ostida va ustida bo’lish vaqtlarini aniqlash haqida risola» - qo’lyozmalari o’otoda va Qohira- da, «Quyosh iqlimni hisoblash haqida» - qo’lyozmalari Halab va Qohirada saqla-
nadi. «Al - Xorazmiy “Zij” ining nazariy qarashlarini asoslash» asari Beruniy to- monidan eslatiladi, lekin qo’lyozmasi topilmagan .
Farғoniyning nomi Xorazmiy kabi Sharq va Ғarbda mashhurdir. Ўrta asrda tabiiy – ilmiy bilimlarning rivojiga ulkan hissa qo’shgan olim.
O’rta Osiyolik yana bir buyuk olimlardan biri X asrda yashagan matematik va astronom Abul Vafo Muhammad Bo’zjoniydir (940 - 998) .
Uning ko’pdan ko’p asarlaridan bizgacha etib kelgani:

1. 
   “ Savdogar va kotiblarga arifmetika san’atidan nimalar zarurligi haqidagi
   

kitob”;

2. 
   “Ќunarmandlarga geometrik yasashdan nimalar zarurligi haqida kitob”;
   
3. 
   Kitobi al-komil “;
   
4. 
   Xamda Xorazmiy, Evklid, Diofant, Ptolomey asarlariga sharxlar.
   
5. 
   Taxminlarga ko’ra sonlardan 3-,4-,7-darajali ildiz chiqarishni ochgan.
   

1. 
   asari 11 bobdan iborat bo’lib, I-bobda geometrik yasashlarda zarur bo’lgan
   

chizg’ich, tsirkulь va go’niya kabi asboblardan foydalanish usuli va ahamiyati qara- ladi. II-bobda kesma, burchaklarni teng bo’laklarga bo’lish, perpendikulyar va paral- lel to’g’ri chiziqlarni yasash, aylanaga urinma o’tkazish va aylanani teng bo’laklarga bo’lish yasashlarni bajaradi. III-VI boblarda muntazam ko’p burchaklar, aylanaga ichki va tashqi figuralar yasashni . VII-XI boblarda uchburchak to’rtburchak va sfera- larni teng burchaklarga bo’lish bayon etiladi. Sferaga ichki chizilgan muntazam ko’pyoqliklarni yasash yo’li ko’rsatiladi.

2. 
   asari trigonometriyaning muntazam bayoniga bag’ishlanadi. U burchak yarimining sinusi uchun har 15^I da 10^-8 aniqlikda jadval tuzadi. Oltita trigonometrik chiziqlar (sekans va kosekans avval yo’q edi) va ular orasidagi algebraik munosabat- larni birlik doirada ko’rsatadi.
   

Uchinchi va to’rtinchi darajali tenglamalarni o’rganadi.
X asrning ikkinchi yarmida yashab ijod etgan yana bir buyuk olim Abul Mu- qammad Xamid ibn al- Xizr Xo’jandiy. Astronomiyaga va sonlar nazariyasiga doir ko’proq asar yozib, bulardan X³+U³=Z³ ning butun ratsional ildizi yo’q ekanligini is- boti ahamiyatga molikdir (Fermani kichik teoremasi)
Shu davrda yashab ijod etgan Abu Sahl Vay jon ibn Rustam al - Ko’hiy saq- langan asari “Mukammal tsirkulь” (“fi birkar at -tamm”) hozirda arabcha qo’l yoz- masi Leyden universitetida (45 bet) saqlanmoqda. Ixtiyoriy diamer va ordinata kesmasi bilan chegaralangan parabola qismining diametr atrofida aylanishidan hosil bo’lgan hajmni hisoblaydi (o’yulьdin teoremasi).
X-XI asrlarda yashagan matematik va astronom Abu Bakr Muhammad ibn Xasan Karxiy al-Xosibiy 70 bobdan iborat «g`isob fanidan etarli kitob» (“Kitob al- kofi fil-hisob “) asari. Bu kitobning algebra qismi Bog’dod halifasi Fahr al-Mulk (1017 yilda o’lgan)ga bag’ishlangan bo’lib, u “Al-Faxriy” deb ataladi. Bu kitobda Karxiy o’zidan oldingi olimlarning ishlarini davom ettiradi va rivojlantiradi.

1. 
   Olti tipdagi normal kvadrat tenglamalarni echishni geometrik isbotsiz ko’rsatadi;
   

2. 
   Daraja haqidagi tushunchani umumlashtirib (Xorazmiyda 1-va 2-daraja edi) istalgan darajani tuzishni bayon etadi. Ms. x³-kub(ka’b), x⁴-kvadratu-kvadrat (mol-al-mol), x⁵-kvadratu-kub (mol-al-ka’b)... So’ngra bu darajalar orasida 1:x=x:x²=x²:x³=... proportsiya tuzish mumkin deydi;
   
3. 
   Kvadrat tenglamaga keltiriladigan tenglamalarni: ax²ⁿ+vxⁿ=c, ax²ⁿ+c=vxⁿ, vxⁿ+c=ax²ⁿ, ax^2n+m=vx^n+m+cx^m ;
   

4. 
   1²+2²+ ... +n²=
   

usulda isbotlaydi;


2n 1
3
(1+2+...+n), 1³+2³+...+n³=(1+2+...+n)² geometrik

5. 
   x⁵+5=u², x²-10=u² tenglamalarni u=x+1 va u=x-1 deb olib, butun echimlari- ni topadi.
   

Sharqning buyuk allomalaridan Abu Ali al-Xusayn ibn Sino (980-1027). U 200ga yaqin asar yozgan bo’lib, bulardan kam qismi bizgacha etib kelgan. Mashxur asarlaridan: “ Tib qonunlari kitobi” (“Kitob ash-shifo”), “ Najot kitobi “( “Kitob an- najot “), “ Bilim kitobi “ ( “Donishnoma”).
Arifmetikada natural sonlarning xossalari, Erotosfen g’alvirining tuzilishi xa- qida natural sonlar ustida amallar va ularning xossalari, ayirmasi birga teng bo’lgan arifmetik progressiyaning istalgan xadini va yig’indisini topish,natural sonlar daraja- si xaqida tushuncha kabi masalalar bilan shug’ullanadi.Amallarni to’g’riligini tekshi- ruvchi vosita sifatida (Mezon) to’qqiz bilan tekshirish usulini kvadrat va kubga ko’tarishga tatbiq etadi. Nisbatlar va sonli va geometrik miqdorli progressiyalarni Evkliddan farqli o’laroq bir-bir bilan uzviy bog’langan holda qaraydi. U ikkison nisba- tini kasr son bilan almashtiradi. Bunday yollanish kelgusida Umar Hayyom va Na- sriddin Tusiylar tomonidan rivojlantirilib son tushunchasini musbat haqiqiy sonlar- gacha kengaytirish imkonini beradi.
“Shifo kitob” asarining geometriyaga bag’ishlangan qismida planimetriya va stereometriyaga tegishli mavzularni 74 taьrif, 7 postulat, 5 aksioma va 255 teorema orqali bayon etadi. Xarakat tushunchasini keng qo’llashi natijasida ba’zi teorema- larni Evklidga nisbatan qisqa va soddaroq usulda isbotlaydi. Evklidning V postulati esa bu aksiomalar sistemasidan tashqarida bo’lib, teorema sifatida “isbotlangan”




I I bob. Matematikaning rivojlanish davrlari.
Reja:
2.1. Matematikaning rivojlanishiga olimlarning qo’shgan hissasi.
2.2.Matematika medotlarini boshqa fanlarga tatbiqi.

1. 
   Matematikaning ro’yobga kelishi.
   

Bu davr eramizdan oldingi VI - V asrlargacha davom etib, bu paytga kelib matema- tika mustaqil fan sifatida shakllanadi. Bu davrning boshlanishi esa, o’tmish ibtidoiy davr- ga qarab boradi. Bu davrda matematika hali fan sifatida shakllanmagan bo’lib, qilingan ishlarning xarakteri asosan kuzatish va tekshirish natijalari asosida materiallar to’plashdan iborat bo’lgan.

2. 
   Elementar matematika davri.
   

Bu davr eramizdan oldingi VI - V asrlardan boshlanib, to hozirgi XVI asrgacha bo’lgan davrni o’z ichiga oladi. Bu davrda asosan o’zgarmas miqdorlarga oid masalalar atroflicha o’rganilgan bo’lib (bularning ba’zilari o’rta maktab kursiga kiritil- gan),matematikaning bundan keyingi rivoji o’zgaruvchi miqdorlarning kiritilishi bilan bo¼liq.

3. 
   Ўzgaruvchi miqdorlar matematikasi.
   

Bu davrning boshlanishi o’zgaruvchi miqdorlarning kiritilishi, Dekart analitik geo- metriyasi vujudga kelishi, Nьyuton va Leybnits asarlarida differentsial va integral xisobi tushunchalari paydo bo’lishi bilan xarakterlidir. XVI asrdan to XIX asrgacha davom etgan bu davrda matematika jadal sur’atlar bilan rivojlandi, yangi bo’limlar vujudga keldi. Bar- cha ilmiy yo’nalishlarning bunday rivoji matematikani hozirgi zamon ko’rinishiga olib ke- linishiga sabab bo’ldi. Ќozirda biz buni matematikaning klassik asoslari deb yuritamiz.

4. 
   Ќozirgi zamon matematikasi davri.
   

Bu davrda yangi matematik nazariyalar, matematikaning yangi-yangi tatbiqlari vujudga keldikim, u matematika predmetini mazmunini judayam boyitib yubordi. Bu esa o’z navbatida matematika asosini (aksiomalar sistemasini, isbotlashning mantiqiy usulla- rini va boshqalar) Ќozirgi zamon matematikasining yutuqlari asosida qayta ko’rib chi- qishni taqozo etadi.