Mavzu: Muntazam ko`pyoqlarning hajmlari reja: ko’pyoqlar haqida umumiy tushunchalar

Dodekaedrning hajmi. Asosining yuzini balandlikka ko’paytmasiga teng
.
Ikosaedrning hajmi. .
Yuqorida keltirilgan besh turdagi muntazam ko’pyoq quyidagi umumiy xossaga ega: har bir muntazam ko’pyoqda uchlar bilan yoqlar sonlarining yig’indisi qirralar sonidan ikkita ortiqdir. Haqiqatan ham har bir muntazam ko’pyoq yoqlari sonini f, uchlari sonini l, qirralari sonini k bilan belgilasak,
Tetraedr uchun: f=4, l= 4, k=6
Oktaedr uchun: f=8, l=6, k=12
Geksaedr uchun: f=6, l=8, k=12
Ikosaedr uchun: f=20, l=12, k=30
Dodekaedr uchun: f=12, l= 20, k=30
Bularning hammasi uchun: f+l-k=2.
Bu xossa faqat muntazam ko’pyoqlar uchun o’rinli bo’lmasdan, quyidagi teorema bu xossaning keng sinfdagi ko’pyoqlar uchun ham o’rinli ekanini tasdiqlaydi.
Teorema (Eyler teoremasi). Har qanday qavariq ko’pyoqning yoqlari bilan uchlari sonini yig’indisi qirralari sonidan ikkita ortiqdir.
Isbot. Biror M qavariq ko’pyoq berilgan bo’lib, uning yoqlari soni f, uchlari soni l, qirralari soni k bo’lsin. Bu holda: f+l-k=q desak, q=2 ekanini isbotlaymiz.
Ko’pyoqning barcha yoqlari birlashmasini S bilan belgilab, uni ko’pyoq ko’pyoq sirti deb ataylik. S dan bitta yoqning ichki qismini chiqarib tashlaylik, u holda qolgan sirtni S₁ desak, bu sirtdagi yoqlar soni f₁ avvalgi sirtga nisbatan bitta kamayib, uchlar soni l₁, qirralar soni k₁ o’zgarmay qoladi, demak,
S₁ uchun f₁+l₁-k₁=q-1
Bu vaqtda ikkita hol yuz berishi mumkin:
1-hol: S₁ ning barcha yoqlari faqat uchburchaklardan iborat bo’lishi mumkin. Faqat bitta yoqqa tegishli qirrani (uchni) chegaraviy qirra deb ataylik. Chegaraviy qirra yoki uch bo’lgan yoqni ham chegaraviy yoq deb ataylik. Bundan ko’rinadiki, qavariq ko’pyoqning sirti chegaraviy yoqqa, chegaraviy qirraga va chegaraviy uchga ega emas. Masalan, parallelepiped sirtida chegaraviy qirra va chegaraviy uch yo’q, lekin bir yoqning ichini chiqarib tashlasak, qolgan sirtda 4 ta chegaraviy qirra bo’ladi.
Qavariq ko’pyoqning sirti kamida bitta chegaraviy bo’lmagan qirraga egaligidan chegaraviy yoq uchburchakdan iborat bo’lganda unda bitta yoki ikkita chegaraviy qirra va bittadan ortiq bo’lmagan chegaraviy uch bo’lishi mumkin. Ravshanki, yoq uchburchakdan iborat bo’lganda , u chegaraviy uchga ega bo’lishi uchun albatta ikkita chegaraviy qirraga ega bo’lishi kerak.
S₁ sirtdan chegaraviy elementlarga ega bo’lgan bitta yoqning ichini chegaraviy elementlari bilan chiqarib tashlaymiz, qolgan sirtni S₂ bilan, uning yoqlari, qirralari va uchlari sonini mos ravishda f₂, l₂, k₂ bilan belgilab f₂+ l₂- k₂ ni hisoblaylik. Agar chiqarib tashlangan yoq bitta chegaraviy qirraga ega bo’lsa (bu yoqda chegaraviy uch bo’lmaydi), f₂+ l₂- k₂=(f-l)+l₁-(k₁-1)=f₁+l₁-k₁=q-1, agar chiqarib tashlangan yoq ikkita chegaraviy qirraga ega (albatta bu vaqtda bitta chegaraviy uch ham shu yoqqa tegishlidir) bo’lsa,
f₂+ l₂- k₂=(f₁-l)+(l₁-1)-(k₁-2)=f₁+l₁-k₁=q-1.
Demak, chegaraviy qirraga ega bo’lgan bir yoqning ichini chegaraviy elementlari bilan chiqarib tashlasak, f₁+l₁-k₁ ifoda o’zgarmaydi. Xuddi shunga o’xshash, S₂ dan chegaraviy elementga ega bo’lgan bir yoqning ichini chegara elementlari bilan chiqarib tashlasak ham,
f₃+l₃-k₃=q-1
shu ishni davom ettirib, oxiri bitta uchburchak (S ko’pyoqli sirtning bitta yog’i) qolguncha davom ettiramiz, ravshanki, uchburchak uchun f+l-k=1 dir. Yoqlarni bittadan kamaytirishda f_t+l_t-k_t ifoda doimo q-1 ga teng bo’lib, qolgani uchun q-1=1 yoki q=2. Shuni isbot etish talab qilingan edi.
2-hol: S₁ sirtning yoqlari orasida tomoni uchtadan ko’p bo’lgan yoq bo’lishi mumkin. Bu yoqning shunday dioganalini o’tkazamizki, natijada bu yoqda kamida bitta uchburchak hosil bo’lsin, agar shu dioganalni S₁ ning qirrasi deb, hosil qilingan uchburchakni ham bir yoq desak, S₁ da qirra va yoqlar soni bittadan ortib, uchlar soni o’zgarmaydi, demak, f₁+l₁-k₁ ifoda ham o’zgarmaydi.
Uchburchakli bo’lmagan yoqlarni uchburchakli yoqlarga keltirishi bilan f₁+l₁-k₁ ifoda o’zgarmas ekan. U holda S₁ ning barcha yoqlari uchburchakdan iborat bo’lib, 1-holga keltiriladi.