5-xossa.Agar determinant biror satrining (ustunining) barcha elementlari nolga teng bo‘lsa, uning qiymati nolga teng bo‘ladi:
Xossaning isboti 4-xossadan da kelib chiqadi.
6-xossa. Agar determinantning ikki satri (ustuni) proporsional bo‘lsa, u nolga teng bo‘ladi. Masalan,
Isboti. 4-xossaga ko‘ra determinant ikkinchi satrining ko‘paytuvchisini determinant belgisidan chiqarish mumkin. Natijada ikkita bir xil satrli determinant qoladi va u 3-xossaga ko‘ra nolga teng bo‘ladi.
7-xossa.Agar determinantning biror satri (ustuni) elementlariga boshqa satrining (ustunining) mos elementlarini biror songa ko‘paytirib qo‘shilsa, determinantning qiymati o‘zgarmaydi.
Isboti.determinantningikkinchisatri elementlariga ga ko‘paytirilgan birinchi satrning mos elementlari qo‘shilgan bo‘lsin:
Qo‘shiluvchilardan birinchisi ga va ikkinchisi esa 3-xossaga ko‘ra nolga teng. Demak, yig‘indi ga teng.
1-izoh. Determinantning xossalari asosida quyidagi teorema isbotlangan.
1-teorema. Bir xil tartibli va kvadrat matritsalar ko‘paytmasining determinanti bu matritsalar determinantlarining ko‘paytmasiga teng, ya’ni
3. Chiziqli tenglamalar sistemasi. Kramer formulalari a) Quyidagi sistema ikki noma’lumli ikkita chiziqli tenglamalar sistemasi deyiladi: …….....(1)
Bu sistemani yechishning qo`shish, o`rniga qo`yish va grafik usullari bilan o`rta umumta’lim dasturlarida tanishganmiz. Quyida sistemani 2-tartibli determinanatdan foydalanib yechish usulini ko`rib chiqamiz.
(1) tenglamalar sistemasini analitik usulda tekshiramiz. (1) sistema yechimga ega deb faraz qilamiz:
; .. ; .
Ushbu ; …. ; belgilashlarni kiritamiz, natijada ; munosabatlar ushbu ko‘rinishni oladi: ; ;
bu yerda (1) sistemaning determinanti deyiladi. (1) sistema yechimga ega bo‘lishi uchun uning determinanti noldan farqli bo‘lishi zarur:
bo‘lganda (1) ning yagona yechimi quyidagicha topiladi:
,
b) Quyidagi sistema uch noma’lumli, uchta chiziqli tenglamalar sistemasi deyiladi:
Ushbu tenglamalar sistemasini ham yuqoridagi usulda, 3-tartibli determinanatdan foydalanib yechamiz. Buning uchun ushbu belgilashlarni kiritamiz: