Mavzu: n-tartibli determinantlarning xossalari. Determinantlarni hisoblash reja

Misol. Berilgan determinantlarni hisoblang:
1) 
2) 
Uchinchi tartibli determinant uchta satr va uchta ustun elementlardan iborat ifoda hisoblanadi hamda
(2) kabi belgilanadi va aniqlanadi.
Uchinchi tartibli determinant uchun satr, ustun, bosh diagonal, yordamchi diagonal tushunchalari ikkinchi tartibli determinantdagi kabi kiritiladi.
Uchinchi tartibli determinantlarni hisoblashda (2) tenglikning o‘ng tomonidagi birhadlarni topishning yodda saqlash uchun oson bo‘lgan qoidalaridan foydalaniladi.
«Uchburchak qoidasi» ushbu sxema bilan tasvirlanadi ^[2]:

Bunda diagonallardagi yoki asoslari diagonallarga parallel bo‘lgan uchburchaklar uchlaridagi elementlar uchta elementning ko‘paytmasini hosil qiladi. Agar uchburchaklarning asoslari bosh diagonalga parallel bo‘lsa, u holda elementlarning ko‘paytmasi ishorasini saqlaydi. Agar uchburchaklarning asoslari yordamchi diagonalga parallel bo‘lsa, u holda elementlarning ko‘paytmasi teskari ishora bilan olinadi.
Misol.   ni uchburchak qoidasi bilan hisoblang.
Yechish.
« Sarryus qoidalari» quyidagi sxemalar bilan ifodalanadi^[3]:

Sxemadagi 1-qoidada avval determinant tagiga uning birinchi ikkita satri yoziladi, 2-qoidada esa determinantning o‘ng tomoniga uning birinchi ikkita ustuni yoziladi. Bunda diagonallardagi yoki diagonallarga parallel bo‘lgan to‘g‘ri chiziqlardagi elementlar uchta ko‘paytuvchini hosil qiladi. Agar to‘g‘ri chiziqlar bosh diagonalga parallel bo‘lsa, u holda elementlarning ko‘paytmasi ishorasini saqlaydi. Agar to‘g‘ri chiziqlar yordamchi diagonalga parallel bo‘lsa, u holda elementlarning ko‘paytmasi teskari ishora bilan olinadi.
Misol. 1)  ni Sarryusning 1-qoidasi bilan hisoblang.
 
Yechish.
2)   ni Sarryusning 2-qoidasi bilan isoblang:

- tartibli determinant tushunchasi
- tartibli determinant

kabi belgilanadi va ma’lum qoida asosida hisoblanadi.
- tartibli determinant  har bir satr va har bir ustundan faqat bittadan olingan  ta elementning ko‘paytmasidan tuzilgan  ta qo‘shiluvchilar yig‘indisidan iborat bo‘ladi, bunda ko‘paytmalar bir-biridan elementlarining tarkibi bilan farq qiladi va har bir ko‘paytma oldiga inversiya tushunchasi asosida plyus yoki minus ishora qo‘yiladi.
-tartibli determinantni bu qoida asosida ifodalash yetarlicha noqulaylikka ega. Shu sababli yuqori tartibli determinantlarni hisoblashda bir nechta ekvivalent qoidalardan foydalaniladi. Bunday qoidalardan biri yuqori tartibli determinantlarni quyi tartibli determinantlar asosida hisoblash usuli hisoblanadi. Bu usulda determinant biror satr (yoki ustun) bo‘yicha yoyiladi. Bunda quyi (ikkinchi va uchunchi) tartibli determinantlar yuqorida keltirilgan ta’riflar asosida topiladi.
-tartibli determinantlarni yoyishda minor va algebraik to‘ldiruvchi tushunchalaridan foydalaniladi.
-tartibli determinant   elementining  minori  deb, shu element joylashgan satr va ustunni o‘chirishdan hosil bo‘lgan  - tartibli determinantga aytiladi va  bilan belgilanadi.
Determinant   elementining  algebraik to‘ldiruvchisi deb,   songa aytiladi.
Masalan,  determinantning  elementining minori va algebraik to‘ldiruvchisi quyidagicha topiladi: