Mavzu: Parameter kiritish yo’li bilan tenglamani integrallash. Lagranj va Klero tenglamalari

I Bob.Parameter kiritish yo’li bilan tenglamani integrallash.
1.1.Parametrik kiritish yo’li bilan hosilaga nisbatan yechilmagan birinchi tartibli differensial tenglama haqida ma’lumot.
Biz darslarimizda hosilaga nisbatan yechilgan, ya’ni y'=f(x, y) (1) ko’rinishdagi differensial tenglamalar bilan tanishib, o’rganib chiqqanmiz.Biroq, birinchi tartibli tenglama, umuman aytganda F(x, y, y')=0 (2) ko’rinishidagi hosilaga nisbatan yechilmagan differensial tenglamaga ega bo’lishi mumkin,shu bilan birga (2) ko’rinishdagi tenglamadan (1) ko’rinishdagi tenglamaga har doim ham o’tish mumkin bo’lavermaydi. Shunday bo’lishiga qaramay, (2) differensial tenglamani integrallash masalasini parameter kiritish yo’li bilan hosilaga nisbatan yechilgan tenglamani integrallash masalasiga keltirish mumkin. (2) tenglamaning ayrim xususiy hollarini qarab chiqamiz va ularni integrallash yo’llarini ko’rsatamiz.
1)n-darajali birinchi tartibli tenglama.Tenglamaning chap tomoni y' ga nisbatan butun ratsional funksiyadan iborat, ya’ni quyidagi ko’rinishga ega:
,
Bu yerda n-butun musbat son, , , ,…, lar x va y ning funksiyalari.Bu funksiyani y' ga nisbatan yecha olamiz deb faraz qilaylik.Bunda y' uchun, umumiy aytganda, n ta har xil ifoda hosil bo’ladi:
y'=f₁(x, y), y'=f₂(x, y), … , y'=f_n(x, y), (3)
Bu holda (2) tenglamani integrallash birinchi tartibli n ta (1) tenglamani integrallashga keltirildi.Ularning umumiy integrallari mos ravishda quyidagilar bo’lsin:Ф₁(x, y, c₁)=0, Ф₂(x, y, c₂)=0, … , Ф_n(x, y, c_n)=0. (4)
(4) integrallarning chap tomonlarini o’zaro ko’paytirib,nolga tenglaymiz:
Ф₁(x, y, c₁) Ф₂(x, y, c₂) … Ф_n(x, y, c_n)=0. (5)
Agar (5) tenglamani y ga nisbatan yechadigan bo’lsak,(2) tenglamaning yechimini hosil qilamiz.Haqiqatan ham,(5) tenglamaning har qanday yechimi (4) tenglamalarning birini,(1) tenglamalarning birortasini va shunday qilib,(2) tenglama –(1) tenglamalarga yoyilgani uchun uni ham qanoatlantiradi.Umumiylikka ziyon keltirmasdan,(5) dagi barcha c₁,c₂, … ,c_n o’zgarmaslarni bitta c bilan almashtirish va tenglamani Ф₁(x, y, c) Ф₂(x, y, c) … Ф_n(x, y, c)=0 (6)
ko’rinishda yozish mumkin,bu (2) tenglamaning umumiy yechimi bo’ladi.Bunga ishonch hosil qilish uchun (6) tenglamaning n ta tenglamaga ajralishini ko’rish mumkin: Ф₁(x, y, c)=0, Ф₂(x, y, c)=0, … ,Ф_n(x, y, c)=0, (7) bu yerda c-istalgan qiymatlarni qabul qiluvchi ixtiyoriy o’zgarmas,shu sababli (4) tenglamadan hosil qilinadigan barcha yechimlar (7) tenglamadan hosil qilinadigan yechimlar orasida bo’ladi.
Misol. Ushbu (y')²-xy/a²=0 tenglamaning umumiy integralini topamiz.
Tenglamaning chap tomonini ko’paytuvchilarga ajratib,quyidagini hosil qilamiz: (y'- )( y'+ )=0,bu yerdan y'- =0 va y'+ =0.Bu ikkala tenglama o’zgaruvchilari ajraladigan tenglamadir.Ularning umumiy integrallari: , . Shuning uchun berilgan tenglamaning umumiy integrali ushbu ko’rinishda bo’ladi:
Misol.
2) y ga nisbatan yechilgan va x qatnashmagan tenglama.
Gap y=φ(y') (8) ko’rinishdagi tenglama ustida ketyapti.Bu holda parametr kiritish usulini qo’llash maqsadga muvofiqdir.U qaralayotgan o’zgaruvchilarni parametr orqali ifodalash va yechimni parametrik shaklda izlashdan iborat. y'=p deylik.U holda berilgan tenglama y=φ(p) (9) ko’rinishda yoziladi.Agar x ni p va c orqali ifodalovchi yana bitta tenglama topish mumkin bo’lsa,u holda bu ikkita tenglamadan iborat to’plam (8) tenglamaning parametrik shakldagi umumiy yechimi bo’ladi.ulardan p ni yo’qotib, x,y va c orasidagi munosabatni,ya’ni odatdagi shakldagi umumiy integralni hosil qilish mumkin.Ikkinchi tenglamani quyidagicha topamiz. y'=p tenglikni ko’rinishida qayta yozib olamiz,bu yerdan . Bu yerdagi integralni bo’laklab integrallaymiz: . Demak . (10)
(10) va (9) tenglamalar sistemasi (8) tenglamaning parametrik shakldagi umumiy yechimi bo’ladi.Agar iloji bo’lsa,bu tenglamalardan p ni yo’qotib, Ф(x, y, c)=0 shakldagi umumiy integralni hosil qilamiz.
Misol: y=(y')²+2(y')³ tenglamaning umumiy yechimini parametrik shaklda topamiz.
y'=p deymiz; u holda y=p²+2p³.Buni x bo’yicha differensiallasak: y'=(2p+6p²) yoki y'=p bo’lgani va p ga qisqartirish mumkin bo’lgani uchun:1=(2+6p) . Bu yerdan dx=(2+6p)dp va x=2p+3p²+c. Umumiy yechim bunday yoziladi: Bu yerda biz p≠0 deb faraz qildik. Agar p=0 bo’lsa, y=c ga egamiz; bu yechim esa tenglamani c=0 bo’lgandagina qanoatlantirishini ko’rish oson.
3) x ga nisbatan yechilgan va y qatnashmagan tenglama.
Bu holda tenglama x= φ(y') (11) ko’rinishga ega.Yuqoridagidek ish ko’ramiz. y'=p deymiz.Tenglama quyidagi ko’rinishda yoziladi: x=φ(p) (12). y'=p tenglikni bunday yozib olamiz: dy=pdx. Bu yerdan , yoki y=p φ(p)- (13). (12)va (13) tenglamalar sistemasi (11) tenglamaning parametrik shakldagi umumiy yechimidir.Ulardan p parametrni yo’qotib, Ф(x, y, c)=0 umumiy integralni hosil qilamiz.Shuni qayd qilib o’tish kerakki,(9),(10),(12) va (13) tengliklardagi p o’zgaruvchi ixtiyoriy parameter rolini o’ynaydi va istalgan boshqa harf bilan almashtirilishi mumkin.
Misol. x= y'sin y' tenglamaning umumiy yechimini parametrik shaklda topamiz.
y'=p deymiz;u holda x=psinp.Endi tenglikni dy=pdx kabi yozib olamiz.So’ngra bo’lgani uchun y=px+pcosp-sinp+c. Umumiy yechim quyidagicha yoziladi: x=psinp, y=p²sinp+pcosp-sinp+c.
4) x yoki y qatnashmagan,biroq y yoki x ga nisbatan yechilgan bo’lishi shart bo’lmagan tenglama.