5.Xosmas integrallarni hisoblash
1.Nyuton-Leybnits formulasi. Ushbu
xosmas integral yaqinlashuvchi bo’lib, uni hisoblash talab etilsin.
Aytaylik, funksiya oraliqda boshlang’ich funksiyaga ega va da funksiya chekli limiti mavjud bo’lsin:
Unda
(5)
bo’ladi va (5) formula Nyuton-Leybnits deyiladi.
1-misol. Ushbu,
integral hisoblang.
Bu yerda funksiya oraliqda funksiyaning boshlang’ich funksiyasi bo’ladi .
(5) formuladan foydalanib topamiz:
2.Bo’laklab integrallash. Faraz qilaylik, va funksiyalar oraliqda uzluksiz va uzluksiz, va hosilalarga ega bo’lsin.
Agar
1) integral yaqinlashuvchi;
2) ushbu limit mavjud va chekli bo’lsa , u holda
integral yaqinlashuvchi bo’ladi.
(6)
bo’ladi.
(6) formula bo’laklab integrallash formulasi deyiladi.
Misol. Ushbu
integral hisoblansin.
Agar , deb olsak, unda
,
bo’lib, (6) formulaga ko’ra
bo’ladi.
3.O’zgaruvchilarni almashtirib integrallash.
Ushbu
xosmas integralni qaraymiz. Bu integralda almashtirishni bajaramiz.
Bunda funksiya quyidagi shartlarni qanoatlantirsin:
1) funksiya oraliqda uzluksiz va uzluksiz hosilaga ega;
2) funksiya da qat’iy o’suvchi;
3) , .
Agar
xosmas integral yaqinlashuvchi bo’lsa, u holda
integral ham yaqinlashuvchi bo’lib,
bo’ladi.
Ixtiyoriy ni olib, umga mos nuqtani topamiz. Ravshanki, yuqoridagi shartlarda da quyidagi formulaga ko’ra
bo’ladi.
Keyingi tenglikda da limitga o’tib topamiz:
bu esa keltirilgan tasdiqni isbotlaydi.
Misol.Ushbu
integral bo’lsin .
Bu integralda almashtirish bajaramiz. Natijada
bo’lib,
bo’lishi kelib chiqadi.
Keyingi integralda deb, topamiz:
Demak,
II-BOB. XOSMAS KARRALI INTEGRALLAR
Dostları ilə paylaş: |
