Max-norm stability of low order taylor-hood elements in three dimensions

MAX-NORM STABILITY OF LOW ORDER TAYLOR-HOOD ELEMENTS

IN THREE DIMENSIONS

JOHNNY GUZM ´

AN

1

, AND MANUEL S ´

ANCHEZ-URIBE

2

,

Division of Applied Mathematics, Brown University, Providence, RI 02912

Abstract. We prove stability in W

1,∞

(Ω) and L

∞

(Ω) for the velocity and pressure approx-

imations, respectively, using the lowest-order Taylor-Hood finite element spaces to solve the

three dimensional Stokes problem. The domain Ω is assumed to be a convex polyhedra.

Keywords: maximum norm, finite element, optimal error estimates, Stokes.

1. Introduction

Consider the Stokes problem on a convex polyhedral domain Ω ⊂ R

3

−∆u +

p = f

in Ω

(1.1a)

· u = 0

in Ω

(1.1b)

u = 0

on ∂Ω.

(1.1c)

Here u is the velocity and p is the pressure. The aim of this paper is to prove W

1,∞

stability

of the lowest order Taylor-Hood (see for example [1]) approximation in three dimensions. More

specifically, we prove the bound

u

h L

∞

(Ω)

+ p

h L

∞

(Ω)

≤ C(

u

L

∞

(Ω)

+ p

L

∞

(Ω)

).

where u

h

∈ V

h

, p

h

∈ M

h

are the Taylor-Hood approximations.

In previous papers, W

1,∞

[18, 5] stability was proven for many inf-sup stable pair of spaces,

but one major exception was the lowest order Taylor-Hood pair in three dimensions. The reason

for this is that in both papers it was assumed that there exists a Fortin projection Π

h

(i.e. it

commutes with the divergence operator) to the finite element velocity space that is quasi-local,

i.e. Π

h

∈ L(H

1

0

(Ω)

3

, V

h

) satisfies the following properties

(q

h

,

· (Π

h

(w) − w))

Ω

=

0,

∀w ∈ H

1

0

(Ω)

3

,

∀q

h

∈ M

h

.

|Π

h

(v) − v|

W

m,q

(T )

≤ Ch

s−m+3(

1

q

−

1

p

)

T

|v|

W

s,p

(∆T )

,

∀T ∈ T

h

,

∀v ∈ W

s,p

(Ω)

3

for all real numbers 1 ≤ sk + 1, 1 ≤ p, q ≤ ∞, and integer m = 0 or 1 such that W

s,p

(Ω) ⊂

W

m,q

(Ω). The constant C is independent of h and T , and ∆T is a suitable macro-element

containing T . Although such a Fortin projection exists for many inf-sup pair of spaces [16],

existence of a quasi-local Fortin projection for the lowest-order Taylor-Hood element in three

E-mail address:

1

johnny [e-mail] ,

2

manuel sanchez [e-mail].

Mathematics Subject Classification: 65N30, 65N15.

1

2

MAX-NORM STABILITY OF LOW ORDER TAYLOR-HOOD ELEMENTS

IN THREE DIMENSIONS

dimensions is still open. In this paper, we instead use a quasi-local inf-sup condition which holds

for the Taylor-Hood element and avoid the use of a Fortin projection.

The local inf-sup condition has been used before by Arnold and Liu [20] to prove local energy

estimates for Stokes problem. The local energy results in Arnold and Liu were proven only for

interior domains. Chen [19] assuming local energy results (both interior domains and also sub-

domains touching the boundary ∂Ω) proved W

1,∞

stability for finite element approximations to

the Stokes problem for domains Ω that have a smooth boundary.

The techniques used by Chen [19] cannot easily be extended to our setting where we assume

that Ω is a convex polyhedral domain. First, higher elliptic regularity results were used by Chen,

which do not hold in our setting. Second, we cannot use directly the local energy estimates that

Chen assumed because this will require us to estimate the pressure error in a negative order

norm which we do not know how to estimate with the given regularity of the problem. Instead

we prove a local energy estimate that does not contain the error of the pressure which is very

similar to the estimates obtained in [5] ( see also [6]). Of course, the estimates derived in [5]

assumed the existence of a quasi-local Fortin projection.

There will be many similarities between the proofs in this paper and the proofs in article [5].

In order to make our paper self contained we provide many details. However, we will compare

the individual results below to corresponding results in [5]. We prove max-norm estimates for

Stokes elements which satisfy assumptions A1-A6 below. As a corollary we show that the lowest-

order Taylor-Hood element in three dimensions satisfies these assumptions. For simplicity we

only consider Stokes elements that use continuous pressures.

2. W

1,∞

stability result

In this section we state our main result in Theorem 1. The finite element approximation

problems, and the assumptions of our result are presented bellow.

2.1. Preliminaries and Assumptions. For the finite element approximation of the problem,

let T

h

, 0 < h < 1, be a sequence of partitions of Ω, Ω = ∪

T ∈T

h

T , with the elements T mutually

disjoint. Let h

T

denote the diameter of the element T and h := max

T

h

T

. The partitions

are face-to-face so that simplices meet only in full lower-dimensional faces or not at all. The

family of triangulation are shape regular and quasi-uniform. The finite element velocity space

is denoted by V

h

⊂ [H

1

0

(Ω)]

3

and the pressure space is denoted by M

h

⊂ L

2

(Ω). We assume

that V

h

contains the space of piecewise polynomials of degree k (k ≥ 2) and is contained is the

space of piecewise polynomials of degree l. We assume that M

h

contains the space of continuous

piecewise polynomial of degree k − 1.

The finite element approximation (u

h

, p

h

) ∈ V

h

× M

h

solves

( u

h

,

v) − (p

h

,

· v) = (f , v)

∀v ∈ V

h

(2.1a)

(q,

· u

h

) =

0

∀q ∈ M

h

(2.1b)

where (·, ·) denotes the usual L

2

(Ω) inner product. The approximation to the pressure p

h

is unique up to a constant.

We can for example require p, p

h

∈ L

2

0

(Ω), i.e.,

Ω

p(x)dx =

Ω

p

h

(x)dx = 0. Instead, we will require

(2.2)

Ω

p(x)φ(x)dx =

Ω

p

h

(x)φ(x)dx = 0,

where φ(x) is an infinitely differentiable function on Ω that vanishes in a neighborhood of the

edges and satisfies

MAX-NORM STABILITY OF LOW ORDER TAYLOR-HOOD ELEMENTS

IN THREE DIMENSIONS

3

(2.3)

Ω

φ(x)dx = 1.

Without loss of generality, we fix φ as above and assume p, p

h

satisfy (2.2). In other words,

we let p and p

h

belong to the space L

2

φ

.

We assume the existence of two projection operators P : [H

1

0

(Ω)]

3

→ V

h

and R : L

2

(Ω) →

M

h

with following properties

A1 (Stability). There exists constants C

1

, C

2

independent of h such that

(2.4a)

Pv

H

1

(Ω)

≤ C

1

v

H

1

(Ω)

,

∀v ∈ [H

1

0

(Ω)]

3

.

(2.4b)

Rq

L

2

(Ω)

≤ C

2

q

L

2

(Ω)

,

∀q ∈ L

2

(Ω).

A2 (Local Approximation) Let Q ⊂ Q

d

⊂ Ω with d ≥ κh, for some fixed κ sufficiently large

and Q

d

= {x ∈ Ω : dist(x, Ω) ≤ d}. For any v ∈ [H

l

(Q

d

)]

3

there exists C independent

of h and v such that

(2.5a)

v − Pv

L

2

(Q)

+ h v − Pv

H

1

(Q)

≤ Ch

l

v

H

l

(Q

d

)

for l = 1, 2.

For any v ∈ [C

1+σ

(Q

d

)]

3

there exists a constant C independent of h such that

(2.5b)

v − Pv

W

t

∞

(Q)

≤ Ch

1+σ−t

v

C

1+σ

(Q

d

)

for t = 0, 1,

where

v

C

1+σ

(Q)

= v

C

1

(Q)

+

sup

x,y∈Q

i∈{1,2,3}

|e

i

· ( v(x) −

v(y))|

|x − y|

σ

For any q ∈ H

1

(Q

d

) there exists a constant C independent of h and Q such that

(2.5c)

q − Rq

L

2

(Q)

≤ Ch q

H

1

(Q

d

)

.

For any q ∈ C

σ

(Q

d

) there exists a constant C independent of h such that

(2.5d)

q − Rq

L

∞

(Q)

≤ Ch

σ

q

C

σ

(Q

d

)

.

A3 (Superapproximation). Let ω ∈ C

∞

0

(Q

d

) be a smooth cut-off function such that ω ≡ 1

on Q and

(2.6a)

|D

s

ω| ≤ Cd

−s

,

s = 0, 1.

We assume that

(2.6b)

ω

2

v − P(ω

2

v)

L

2

(Q)

≤ Chd

−1

v

L

2

(Q

d

)

,

∀v ∈ V

h

(2.6c)

(ω

2

v − P(ω

2

v))

L

2

(Q)

≤ Cd

−1

v

L

2

(Q

d

)

,

∀v ∈ V

h

and

4

MAX-NORM STABILITY OF LOW ORDER TAYLOR-HOOD ELEMENTS

IN THREE DIMENSIONS

(2.6d)

(ω

2

q − R(ω

2

q))

L

2

(Q)

≤ Chd

−1

q

L

2

(Q

d

)

,

∀q ∈ M

h

.

A4 (Inverse inequality). There exists a constant C independent of h such that

(2.7a)

v

H

1

(Q)

≤ Ch

−1

v

L

2

(Q

d

)

A5 (Local inf-sup condition). There exists β > 0 and

≥ 1 such that for every set B ⊂ Ω

there exist B

h

⊇ B, with dist(B, ∂B

h

\∂Ω) ≤ h, and β > 0 such that

(2.8)

sup

v∈V

h

\{0}

supp(v)⊂B

h

(q,

· v)

v

H

1

(B

h

)

≥ βh

q

L

2

(B)

,

∀q ∈ M

h

.

A6 (L

1

inf-sup condition). There exists a constant γ > 0 independent of h such that

(2.9)

sup

v∈V

h

\{0}

(q,

· v)

v

W

1

∞

(Ω)

≥ γh

q

L

1

(Ω)

,

∀q ∈ M

h

.

When B = Ω property A5 is the standard inf-sup condition for Stokes finite element spaces.

We now state the main result of the paper.

Theorem 1. Let (u, p) and (u

h

, p

h

) satisfy (1.1) and (2.1), respectively. Under the Assumptions

1-6, there exists a constant C independent of h such that

u

h L

∞

(Ω)

+ p

h L

∞

(Ω)

≤ C(

u

L

∞

(Ω)

+ p

L

∞

(Ω)

).

Of course, as a corollary we have

(u − u

h

)

L

∞

(Ω)

+ p − p

h L

∞

(Ω)

≤ C( sup

v∈V

h

(u − v)

L

∞

(Ω)

+ sup

q∈Q

h

p − q

L

∞

(Ω)

).

The proof of Theorem 1 is presented in section 4. In section 4.1 we state some Green’s function

estimates, established in [9, 7, 8, 11] which are used in section 4.2 to prove a key estimate for

the gradient of the finite element approximation of the Green’s function in the L

1

norm. Finally

in section 4.3 we prove the stability in L

∞

norm of the velocity and the pressure.

3. Local energy estimate

An essential ingredient of our proof is the local energy estimate that we derive in this section.

Consider (v, q) ∈ [H

1

0

(Ω)]

3

× L

2

(Ω) and (v

h

, q

h

) ∈ V × M

h

satisfying the following orthogonality

relation:

( (v − v

h

),

χ) − (q − q

h

,

· χ) = 0

∀χ ∈ V

h

(3.1a)

(w,

· (v − v

h

))

=

0

∀w ∈ M

h

(3.1b)

Theorem 2. Suppose (v, q) ∈ [H

1

0

(Ω)]

3

× L

2

(Ω) and (v

h

, q

h

) ∈ V × M

h

satisfy (3.1). Then,

there exists a constant C > 0 such that for every pair of sets A

1

⊂ A

2

⊂ Ω such that

dist(A

1

, ∂A

2

\∂Ω) ≥ d ≥ κh ( for some fixed large enough constant κ) and for any ε ∈ (0, 1),

the following bound holds:

MAX-NORM STABILITY OF LOW ORDER TAYLOR-HOOD ELEMENTS

IN THREE DIMENSIONS

5

(v − v

h

)

L

2

(A

1

)

≤ C ε

−1

(v − Pv)

L

2

(A

2

)

+ (εd)

−1

(v − Pv)

L

2

(A

2

)

+ q − Rq

L

2

(A

2

)

+ε

(v − v

h

)

L

2

(A

2

)

+

C

εd

(v − v

h

)

L

2

(A

2

)

The above result is similar to Theorem 2 in [5].

The main difference is that the term

ε

−1

(v − Pv)

L

2

(A

2

)

appears in our result.

Proof. We first prove the statement with the following assumption for the sets A

1

and A

2

.

A7 Redefine the sets as A

s

= B

sd/2

∩ Ω for s = 1, 2, where B

sd/2

is a ball of radius sd/2

centered at x

0

∈ ¯

Ω and assume that there exists a ball B ⊂ A

1

, such that diam(A

1

) ≤

d < ρ diam(B), where ρ is a fixed constant that only depends on Ω.

We will compete the proof for general sets by a covering argument.

Consider ω ∈ C

∞

0

(A

3/2

) the cut-off function defined in assumption A3, for Q = A

1

and

Q

d

= A

2

. Define e = v − v

h

, η = v − Pv, ξ = Pv − v

h

, e

q

= q − q

h

, η

q

= q − Rq and ξ

q

= Rq − q

h

then

(3.2)

e

L

2

(A

1

)

≤

ω e

L

2

(Ω)

= ( e,

(ω

2

e)) − ( e,

(ω

2

) ⊗ e)

Throughout this proof we will estimate the middle term of (3.2). We first obtain an estimate

for the second term on the right hand side of (3.2), by Cauchy-Schwartz (C-S.) inequality and

the property of ω (2.6a) we obtain

−( e,

(ω

2

) ⊗ e) ≤

C

d

ω e

L

2

(Ω)

e

L

2

(A

3/2

)

.

Applying the arithmetic-geometric mean (a-g.m.) inequality and (3.2), we get

(3.3)

1

2

ω e

L

2

(Ω)

≤ ( e,

(ω

2

e)) +

C

d

2

e

2

L

2

(A

3/2

)

.

Now for the first term on the right hand side of (3.3), we use e = η + ξ, obtaining

( e,

(ω

2

e))

=

( e,

(ω

2

ξ)) + ( e,

(ω

2

η))

≤ ( e,

(ω

2

ξ)) + C ω e

L

2

(Ω)

(

η

L

2

(A

3/2

)

+

1

d

η

L

2

(A

3/2

)

),

(3.4)

in the last line we have estimated the second term using (2.6a). The term ( e,

(ω

2

ξ)) is

more involved, we decompose it as follows

(3.5)

( e,

(ω

2

ξ)) = ( e,

P(ω

2

ξ)) + ( e,

(ω

2

ξ) − P(ω

2

ξ)) =: I

1

+ I

2

.

Summarizing, by (3.4), the a-g.m. inequality , the definition of I

1

and I

2

and (3.3) we have

(3.6)

1

4

ω e

L

2

(Ω)

≤ I

1

+ I

2

+ C

η

2

L

2

(A

3/2

)

+

C

d

2

η

2

L

2

(A

3/2

)

+

C

d

2

e

2

L

2

(A

3/2

)

.

We estimate I

2

applying C-S. inequality, the superapproximation assumption A3 (2.6b) and

the a-g.m. inequality for 0 < ε < 1, obtaining

6

MAX-NORM STABILITY OF LOW ORDER TAYLOR-HOOD ELEMENTS

IN THREE DIMENSIONS

I

2

≤

e

L

2

(A

3/2

)

(ω

2

ξ − P(ω

2

ξ))

L

2

(A

3/2

)

≤

e

L

2

(A

3/2

)

C

d

ξ

L

2

(A

2

)

=

ε

e

2

L

2

(A

3/2

)

+

C

εd

2

( η

2

L

2

(A

2

)

+ e

2

L

2

(A

2

)

),

To estimate I

1

we use (3.1a), then adding and subtracting Rq we break I

1

into three parts

I

1

=

−(e

q

,

· P(ω

2

ξ))

=

−(e

q

,

· (ω

2

ξ)) − (η

q

,

· (P(ω

2

ξ) − ω

2

ξ)) − (ξ

q

,

· (P(ω

2

ξ) − ω

2

ξ)) = I

3

+ I

4

+ I

5

Similar to the estimate for I

2

, we estimate I

4

I

4

≤

η

q L

2

(A

3/2

)

· (P(ω

2

ξ) − ω

2

ξ)

L

2

(A

3/2

)

≤

η

q L

2

(A

3/2

)

C

d

ξ

L

2

(A

2

)

=

η

q

2

L

2

(A

3/2

)

+

C

d

2

( η

2

L

2

(A

2

)

+ e

2

L

2

(A

2

)

),

Next we estimate I

5

. We use integration by parts (taking into account that M

h

is continuous),

C-S. inequality, superapproximation assumption A3

I

5

=

( ξ

q

, P(ω

2

ξ) − ω

2

ξ) ≤

ξ

q L

2

(A

3/2

)

P(ω

2

ξ) − ω

2

ξ

L

2

(A

3/2

)

≤

ξ

q L

2

(A

3/2

)

Ch

d

ξ

L

2

(A

2

)

Using the local inf-sup condition assumption A5 we know there exists A