Max-norm stability of low order taylor-hood elements in three dimensions



Yüklə 369,88 Kb.
Pdf görüntüsü
səhifə3/5
tarix07.01.2017
ölçüsü369,88 Kb.
#4851
1   2   3   4   5


z

)

≤ Ch



−k−3(1−1/q)

,

1 ≤ q ≤ ∞, h = 0, 1.



We highlight that, in particular,

δ

h L



1

(T

z



)

≤ C


(4.10a)

δ

h L



2

(T

z



)

≤ Ch


−3/2

.

(4.10b)



The explicit construction of a such function is given in [13]. Next, we define the approximate

Green’s function (g, λ) ∈ [H

1

0

(Ω)]



3

× L


2

φ

(Ω) to be the solution of the following equation:



12

MAX-NORM STABILITY OF LOW ORDER TAYLOR-HOOD ELEMENTS

IN THREE DIMENSIONS

∆g +


λ = a(∂

x

j



δ

h

)e



i

in Ω


(4.11a)

· g = b(δ

h

− φ)


in Ω

(4.11b)


g = 0

on ∂Ω.


(4.11c)

Here e


i

denote the i-th standard basis vector in R

3

and will be fixed throughout the paper



and a, b ∈ R. Note that (2.3) implies that



h

(x) − φ(x))dx = 0. Again, λ is unique up to a

constant. In the course of the proof we will need estimates g and λ in certain H¨

older norms on

subdomains away from the singular point z. The next lemma is almost identical to Lemma 5.1

in [5]. We include the proof for completeness.

Lemma 4.1. Let D ⊂ Ω be such that dist(D, z) ≥ d ≥ 2h. Then there exists a constant C

independent of d and D such that

g

C

1+σ



(D)

+ λ


C

σ

(D)



≤ Cd

−3−σ


.

Proof. We use the Green’s function representation presented in Section 4.1

(g)

k

(x) = g



k

(x)


=

a



G

k,i


(x, ξ)(∂

ξ

δ



h

(ξ))dξ + b

G

i,4



(x, ξ)δ

h

(ξ)dξ



λ(x)

=

a



G

4,i



(x, ξ)(∂

ξ

δ



h

(ξ))dξ + b

G

4.4



(x, ξ)δ

h

(ξ)dξ



for k = 1, 2, 3 and i fixed. Then, we have

x



g

k

(x) − ∂



y

g

k



(y)

=

a



(∂

x



G

k,i


(x, ξ) − ∂

y

G



k,i

(y, ξ))(∂

ξ

δ

h



(ξ))dξ

+b



(∂

x

G



i,4

(x, ξ) − ∂

y

G

i,4



(y, ξ))δ

h

(ξ)dξ



=

−a



ξ

(∂



x

G

k,i



(x, ξ) − ∂

y

G



k,i

(y, ξ))δ


h

(ξ)dξ


+b

(∂



x

G

i,4



(x, ξ) − ∂

y

G



i,4

(y, ξ))δ


h

(ξ)dξ.


Let x, y ∈ D, x = y, then using that 1 ≤ i ≤ 3 by (4.8), we have

|∂

x



g

k

(z) − ∂



y

g

k



(y)|

|x − y|


σ

≤ a max


ξ∈T

z

|∂



ξ

x



G

k,i


(x, ξ) − ∂

ξ



y

G

k,i



(y, ξ))|

|x − y|


σ

δ

h L



1

(T

z



)

+b max


ξ∈T

z

|∂



x

G

k,i



(x, ξ) − ∂

y

G



k,i

(y, ξ)|


|x − y|

σ

δ



h L

1

(T



z

)

≤ 2C max{a, b} max



ξ∈T

z

(|x − ξ|



−3−σ

+ |y − ξ|

−3−σ

) ≤ C max{a, b}d



−3−σ

The last inequality is due to that for any ξ ∈ T

z

, |x − ξ|, |y − ξ| ≥ d/2, and δ



h L

1

(T



z

)

≤ C.



Therefore, taking supremum over k we conclude

x,y∈D


| g(x) −

g(y)|


|x − y|

σ

≤ C max{a, b}d



−3−σ

.

Similarly, for λ we have



MAX-NORM STABILITY OF LOW ORDER TAYLOR-HOOD ELEMENTS

IN THREE DIMENSIONS

13

λ(x) − λ(y)



=

−a



(∂

ξ

G



4,i

(x, ξ) − ∂

ξ

G

4,i



(y, ξ))δ

h

(ξ)dξ



+b

(G



4.4

(x, ξ) − G

4.4

(y, ξ))δ


h

(ξ)dξ


Then, for x, y ∈ D, x = y,

|λ(x) − λ(y)|

|x − y|

σ

≤ a max



ξ∈T

z

|∂



ξ

G

4,i



(x, ξ) − ∂

ξ

G



4,i

(y, ξ)|


|x − y|

σ

δ



h L

1

(T



z

)

+b max



ξ∈T

z

|G



4.4

(x, ξ) − G

4.4

(y, ξ)|


|x − y|

σ

δ



h L

1

(T



z

)

≤ 2C max{a, b} max



ξ∈T

z

(|x − ξ|



−3−σ

+ |y − ξ|

−3−σ

) ≤ C max{a, b}d



−3−σ

This completes the proof after taking the supremum.

Let (g

h

, λ



h

) ∈ V


h

× M


h

be the corresponding finite element solution, i.e., the unique solution

that satisfies

( (g − g


h

),

χ) − (λ − λ



h

,

· χ) = 0,



∀χ ∈ V

h

(4.12a)



(w,

· (g − g


h

))

=



0

∀w ∈ M


h

(4.12b)


and λ

h

∈ L



2

φ

(Ω). The next lemma is the analogue to lemma 5.2 in [5]. In this case we use the



local inf-sup condition instead of the quasi-local Fortin projection to achieve the result.

Lemma 4.2. There exists a constant C, independent of h and g, such that

(4.13)

(g − g


h

)

L



1

(Ω)


≤ C.

Proof. At this point we introduce some notations. Let e

g

= g−g


h

, η


g

= g−Pg and ξ

g

= Pg−g


h

,

clearly e



g

= η


g

g



. Similarly, for the scalar variables e

λ

= λ−λ



h

, η


λ

= λ−Rλ and ξ

λ

= Rλ−λ


h

.

The proof is broken down, as the proof of Lemma 5.2 in [5], into four steps.



Step 1 (Dyadic decomposition). We assume without loss of generality that |Ω| ≤ 1. Define

d

j



= 2

−j

and J be the integer such that 2



−(J+1)

≤ Kh ≤ 2


−J

where K is a large enough

constant to be chosen later. Then, consider the following decomposition of Ω

(4.14)


Ω = Ω



J

j=0


j

where Ω



= {x ∈ Ω : |x − z| ≤ Kh},

j

= {x ∈ Ω : d



j+1

≤ |x − z| ≤ d

j

}.

Henceforth, we will denote by C the generic constants not depending on K or h.



We break (4.13) using the dyadic decomposition (4.14) and then applying the Cauchy-Schwartz

(C-S.) inequality we obtain

e

g L


1

(Ω)


≤ CK

3/2


h

3/2


e

g L


1

(Ω



)

+ C


J

j=0


d

3/2


j

e

g L



1

(Ω

j



)

.


14

MAX-NORM STABILITY OF LOW ORDER TAYLOR-HOOD ELEMENTS

IN THREE DIMENSIONS

Firstly, we estimate the term involving the set Ω

h

3/2



e

g L


2

(Ω



)

≤ h


3/2

e

g L



2

(Ω)


≤ Ch

5/2


( g

H

2



(Ω)

+ λ


H

1

(Ω)



)

≤ Ch


5/2

δ

h L



2

(T )


≤ C

Defining M

j

= d


3/2

j

e



g L

2

(Ω



j

)

, it follows that



(4.15)

e

g L



1

(Ω)


≤ CK

3/2


+

J

j=0



M

j

.



Step 2 (Initial Estimate for M

j

). Let us define the following sets:



j

=



{x ∈ Ω : d

j+2


≤ |x − z| ≤ d

j−1


}

j



=

{x ∈ Ω : d

j+3

≤ |x − z| ≤ d



j−2

}



j

=

{x ∈ Ω : d



j+4

≤ |x − z| ≤ d

j−3

}



j

=

{x ∈ Ω : d



j+5

≤ |x − z| ≤ d

j−4

}

We apply the local energy estimate proved in Theorem 2 to A



1

= Ω


j

and A


2

= Ω


j

(d = d


j

),

and any 0 < ε < 1,



e

g L


2

(Ω

j



)

≤ C ε


−1

η

g L



2

(Ω

j



)

+ (εd


j

)

−1



η

g L


2

(Ω

j



)

+ η


λ L

2

(Ω



j

)

(4.16)



e

g L



2

(Ω

j



)

+

C



εd

j

e



g L

2

(Ω



j

)

=



CI + ε

e

g L



2

(Ω

j



)

+

C



εd

j

e



g L

2

(Ω



j

)

.



(4.17)

We start treating the first three terms on the right-hand side.

I ≤ Cd

3/2


j

ε

−1



η

g L


(Ω

j



)

+ (εd


j

)

−1



η

g L


(Ω

j



)

+ η


λ L

(Ω



j

)

(by C-S. ineq.)



≤ Cd

3/2


j

h

σ



−1

+ ε



−1

h

d



j

) g


C

1+σ


(Ω

j

)



+ λ

C

σ



(Ω

j

)



(by A2)

≤ Cd


3/2

j

h



σ

−1



+ ε

−1

h



d

j

)d



−3−σ

j

+ d



−3−σ

j

(by Lemma 4.1)



≤ Cd

−3/2


j

h

d



j

σ

ε



−1

+ ε


−1

h

d



j

+ 1


≤ Cd

−3/2


j

h

d



j

σ

ε



−1

1 +


h

d

j



Summarizing, we obtain the following estimate for M

j

M



j

≤ C


h

d

j



σ

ε

−1



1 +

h

d



j

+ εd


3/2

j

e



g L

2

(Ω



j

)

+ Cd



1/2

j

ε



−1

e

g L



2

(Ω

j



)

In Step 3 below we present a duality argument to estimate the last term on the right-hand

side.

Step 3 ( Duality argument). We use the following duality representation of the L



2

norm.


MAX-NORM STABILITY OF LOW ORDER TAYLOR-HOOD ELEMENTS

IN THREE DIMENSIONS

15

e

g L



2

(Ω

j



)

=

sup



v∈C

c



(Ω

j

)



v

L2(Ω


j

)≤1


(e

g

, v).



Now, for each v ∈ C

c



(Ω

j

) with v



L

2

(Ω



j

)

≤ 1, let w, ϕ be the solution of the problem:



−∆w +

ϕ

=



v

in Ω


· w = 0

in Ω


w

=

0



on ∂Ω.

Now, we test the variational problem associated with g − g

h

, i.e.


(e

g

, v)



=

( e


g

,

w) − (ϕ,



· e

g

)



=

( e


g

,

(w − Pw)) + ( e



g

,

Pw) − (ϕ − Rϕ,



· e

g

)



=

( e


g

,

η



w

) − (e


λ

,

· Pw) − (η



ϕ

,

· e



g

)

=



( e

g

,



η

w

) − (e



λ

,

· η



w

) − (η


ϕ

,

· e



g

)

=



( e

g

,



η

w

) − (η



λ

,

· η



w

) − (ξ


λ

,

· η



w

) − (η


ϕ

,

· e



g

)

=



( e

g

,



η

w

) − (η



λ

,

· η



w

) + ( ξ


λ

, η


w

) − (η


ϕ

,

· e



g

)

=:



J

1

+ J



2

+ J


3

+ J


4

In order to make the estimates for J

1

, J


2

, J


3

, J


4

clearer, we establish the following results.

Proposition 4.1. There exists C > 0 independent of h such that

(i)


η

w L


2

(Ω)


+ η

ϕ L


2

(Ω)


≤ Ch

(ii)


η

w L


(Ω\Ω


j

)

+ η



ϕ L

(Ω\Ω



j

)

≤ C



h

d

j



σ

d

−1/2



j

(iii)


η

λ L


2

(Ω

j



)

≤ Cd


−3/2

j

(iv)



η

λ L


1

(Ω)


≤ C.

Next, we split J

i

, into two terms as follows



J

i

= J



i

|



j

+ J


i

|

Ω\Ω



j

, for i = 1, 2, 3, 4.

For example J

1

= J



1

|



j

+ J


1

|

Ω\Ω



j

= ( e


g

,

η



w

)



j

+ ( e


g

,

η



w

)

Ω\Ω



j

and estimate them using

Cauchy-Schwartz inequality, in L

2

norm in Ω



j

and in L


1

− L


norms in Ω\Ω

j

.

We start estimating J



1

, and J


4

using Proposition 4.1 (i) and (ii)

J

1

|



j



e

g L


2

(Ω

j



)

η

w L



2

(Ω)


≤ Ch

e

g L



2

(Ω

j



)

,

J



1

|

Ω\Ω



j

e



g L

1

(Ω)



η

w L


(Ω\Ω


j

)

≤ Cd



−1/2

j

h



d

j

σ



e

g L


1

(Ω)


,

J

4



|

j



η

ϕ L



2

(Ω)


e

g L


2

(Ω

j



)

≤ Ch


e

g L


2

(Ω

j



)

,

J



4

|

Ω\Ω



j

η



ϕ L

(Ω\Ω



j

)

e



g L

1

(Ω)



≤ Cd

−1/2


j

h

d



j

σ

e



g L

1

(Ω)



.

Hence


16

MAX-NORM STABILITY OF LOW ORDER TAYLOR-HOOD ELEMENTS

IN THREE DIMENSIONS

(4.18)


J

1

+ J



4

≤ Ch


e

g L


2

(Ω

j



)

+ Cd


−1/2

j

h



d

j

σ



e

g L


1

(Ω)


To estimate J

2

we apply Proposition 4.1 (i) and (ii) as before and then apply (iii) and (iv)



J

2

|



j



η

λ L


2

(Ω

j



)

η

w L



2

(Ω)


η

λ L



2

(Ω

j



)

Ch ≤ Chd


−3/2

j

J



2

|

Ω\Ω



j

η



λ L

1

(Ω)



η

w L


(Ω\Ω


j

)



η

λ L


1

(Ω)


C

h

d



j

σ

d



−1/2

j

≤ C



h

d

j



σ

d

−1/2



j

.

Then



(4.19)

J

2



≤ C(hd

−3/2


j

+

h



d

j

σ



d

−1/2


j

)

It remains to estimate J



3

. We first estimate J

3

|



j

. Applying C-S. inequality and Prop. 4.1

(i), we get

J

3



|

j



= ( ξ

λ

, η



w

)

˜



j



ξ

λ L


2

(Ω

j



)

η

w L



2

(Ω)


≤ Ch

2

ξ



λ L

2

(Ω



j

)

To estimate the term in the right-hand side we use the local inf-sup condition A5, the identity



e

λ

= η



λ

+ ξ


λ

, integration by parts, (4.12a), C-S. inequality and Prop. 4.1 (iii), obtaining

βh

ξ

λ L



2

(Ω

j



)

sup



z∈V

h

supp(z)⊆ ˜



j



λ

,

· z)



z

H

1



( ˜

j



)

sup



z∈V

h

supp(z)⊆ ˜



j

(e



λ

− η


λ

,

· z)



z

H

1



( ˜

j



)

η



λ L

2

( ˜



j

)



+

sup


z∈V

h

supp(z)⊆ ˜



j

(e



λ

,

· z)



z

H

1



( ˜

j



)

η



λ L

2

( ˜



j

)



+

sup


z∈V

h

supp(z)⊆ ˜



j

( e



g

, z)


z

H

1



( ˜

j



)

η



λ L

2

( ˜



j

)



+

e

g L



2

( ˜


j

)



≤ Cd

−3/2


j

+

e



g L

2

( ˜



j

)



,

where ˜


j

⊇ Ω



j

with dist( ˜

j

, Ω



j

) ≤ lh. Observe that Ω

j

⊆ ˜


j

⊂ Ω



j

Hence,


(4.20)

J

3



|

j



≤ Ch(Cd

−3/2


j

+

e



g L

2

( ˜



j

)



)

For J


3

|

Ω\Ω



j

, C-S. inequality and Prop. 4.1 (ii) yield to

J

3

|



Ω\Ω

j



ξ

λ L


1

(Ω)


η

w L


(Ω\Ω


j

)

≤ C



h

d

j



σ

d

−1/2



j

h

ξ



λ L

1

(Ω)



To estimate the term in the right-hand side we use the L

1

inf-sup condition (A 6), the identity



e

λ

= η



λ

+ ξ


λ

, integration by parts, (4.12a), C-S. inequality and Prop. 4.1 (iv), obtaining



MAX-NORM STABILITY OF LOW ORDER TAYLOR-HOOD ELEMENTS

IN THREE DIMENSIONS


Yüklə 369,88 Kb.

Dostları ilə paylaş:
1   2   3   4   5




Verilənlər bazası müəlliflik hüququ ilə müdafiə olunur ©azkurs.org 2024
rəhbərliyinə müraciət

gir | qeydiyyatdan keç
    Ana səhifə


yükləyin