Max-norm stability of low order taylor-hood elements in three dimensions

z

)

≤ Ch

−k−3(1−1/q)

,

1 ≤ q ≤ ∞, h = 0, 1.

We highlight that, in particular,

δ

h L

1

(T

z

)

≤ C

(4.10a)

δ

h L

2

(T

z

)

≤ Ch

−3/2

.

(4.10b)

The explicit construction of a such function is given in [13]. Next, we define the approximate

Green’s function (g, λ) ∈ [H

1

0

(Ω)]

3

× L

2

φ

(Ω) to be the solution of the following equation:

12

MAX-NORM STABILITY OF LOW ORDER TAYLOR-HOOD ELEMENTS

IN THREE DIMENSIONS

∆g +

λ = a(∂

x

j

δ

h

)e

i

in Ω

(4.11a)

· g = b(δ

h

− φ)

in Ω

(4.11b)

g = 0

on ∂Ω.

(4.11c)

Here e

i

denote the i-th standard basis vector in R

3

and will be fixed throughout the paper

and a, b ∈ R. Note that (2.3) implies that

Ω

(δ

h

(x) − φ(x))dx = 0. Again, λ is unique up to a

constant. In the course of the proof we will need estimates g and λ in certain H¨

older norms on

subdomains away from the singular point z. The next lemma is almost identical to Lemma 5.1

in [5]. We include the proof for completeness.

Lemma 4.1. Let D ⊂ Ω be such that dist(D, z) ≥ d ≥ 2h. Then there exists a constant C

independent of d and D such that

g

C

1+σ

(D)

+ λ

C

σ

(D)

≤ Cd

−3−σ

.

Proof. We use the Green’s function representation presented in Section 4.1

(g)

k

(x) = g

k

(x)

=

a

Ω

G

k,i

(x, ξ)(∂

ξ

δ

h

(ξ))dξ + b

Ω

G

i,4

(x, ξ)δ

h

(ξ)dξ

λ(x)

=

a

Ω

G

4,i

(x, ξ)(∂

ξ

δ

h

(ξ))dξ + b

Ω

G

4.4

(x, ξ)δ

h

(ξ)dξ

for k = 1, 2, 3 and i fixed. Then, we have

∂

x

g

k

(x) − ∂

y

g

k

(y)

=

a

Ω

(∂

x

G

k,i

(x, ξ) − ∂

y

G

k,i

(y, ξ))(∂

ξ

δ

h

(ξ))dξ

+b

Ω

(∂

x

G

i,4

(x, ξ) − ∂

y

G

i,4

(y, ξ))δ

h

(ξ)dξ

=

−a

Ω

∂

ξ

(∂

x

G

k,i

(x, ξ) − ∂

y

G

k,i

(y, ξ))δ

h

(ξ)dξ

+b

Ω

(∂

x

G

i,4

(x, ξ) − ∂

y

G

i,4

(y, ξ))δ

h

(ξ)dξ.

Let x, y ∈ D, x = y, then using that 1 ≤ i ≤ 3 by (4.8), we have

|∂

x

g

k

(z) − ∂

y

g

k

(y)|

|x − y|

σ

≤ a max

ξ∈T

z

|∂

ξ

∂

x

G

k,i

(x, ξ) − ∂

ξ

∂

y

G

k,i

(y, ξ))|

|x − y|

σ

δ

h L

1

(T

z

)

+b max

ξ∈T

z

|∂

x

G

k,i

(x, ξ) − ∂

y

G

k,i

(y, ξ)|

|x − y|

σ

δ

h L

1

(T

z

)

≤ 2C max{a, b} max

ξ∈T

z

(|x − ξ|

−3−σ

+ |y − ξ|

−3−σ

) ≤ C max{a, b}d

−3−σ

The last inequality is due to that for any ξ ∈ T

z

, |x − ξ|, |y − ξ| ≥ d/2, and δ

h L

1

(T

z

)

≤ C.

Therefore, taking supremum over k we conclude

x,y∈D

| g(x) −

g(y)|

|x − y|

σ

≤ C max{a, b}d

−3−σ

.

Similarly, for λ we have

MAX-NORM STABILITY OF LOW ORDER TAYLOR-HOOD ELEMENTS

IN THREE DIMENSIONS

13

λ(x) − λ(y)

=

−a

Ω

(∂

ξ

G

4,i

(x, ξ) − ∂

ξ

G

4,i

(y, ξ))δ

h

(ξ)dξ

+b

Ω

(G

4.4

(x, ξ) − G

4.4

(y, ξ))δ

h

(ξ)dξ

Then, for x, y ∈ D, x = y,

|λ(x) − λ(y)|

|x − y|

σ

≤ a max

ξ∈T

z

|∂

ξ

G

4,i

(x, ξ) − ∂

ξ

G

4,i

(y, ξ)|

|x − y|

σ

δ

h L

1

(T

z

)

+b max

ξ∈T

z

|G

4.4

(x, ξ) − G

4.4

(y, ξ)|

|x − y|

σ

δ

h L

1

(T

z

)

≤ 2C max{a, b} max

ξ∈T

z

(|x − ξ|

−3−σ

+ |y − ξ|

−3−σ

) ≤ C max{a, b}d

−3−σ

This completes the proof after taking the supremum.

Let (g

h

, λ

h

) ∈ V

h

× M

h

be the corresponding finite element solution, i.e., the unique solution

that satisfies

( (g − g

h

),

χ) − (λ − λ

h

,

· χ) = 0,

∀χ ∈ V

h

(4.12a)

(w,

· (g − g

h

))

=

0

∀w ∈ M

h

(4.12b)

and λ

h

∈ L

2

φ

(Ω). The next lemma is the analogue to lemma 5.2 in [5]. In this case we use the

local inf-sup condition instead of the quasi-local Fortin projection to achieve the result.

Lemma 4.2. There exists a constant C, independent of h and g, such that

(4.13)

(g − g

h

)

L

1

(Ω)

≤ C.

Proof. At this point we introduce some notations. Let e

g

= g−g

h

, η

g

= g−Pg and ξ

g

= Pg−g

h

,

clearly e

g

= η

g

+ξ

g

. Similarly, for the scalar variables e

λ

= λ−λ

h

, η

λ

= λ−Rλ and ξ

λ

= Rλ−λ

h

.

The proof is broken down, as the proof of Lemma 5.2 in [5], into four steps.

Step 1 (Dyadic decomposition). We assume without loss of generality that |Ω| ≤ 1. Define

d

j

= 2

−j

and J be the integer such that 2

−(J+1)

≤ Kh ≤ 2

−J

where K is a large enough

constant to be chosen later. Then, consider the following decomposition of Ω

(4.14)

Ω = Ω

∗

∪

J

j=0

Ω

j

where Ω

∗

= {x ∈ Ω : |x − z| ≤ Kh},

Ω

j

= {x ∈ Ω : d

j+1

≤ |x − z| ≤ d

j

}.

Henceforth, we will denote by C the generic constants not depending on K or h.

We break (4.13) using the dyadic decomposition (4.14) and then applying the Cauchy-Schwartz

(C-S.) inequality we obtain

e

g L

1

(Ω)

≤ CK

3/2

h

3/2

e

g L

1

(Ω

∗

)

+ C

J

j=0

d

3/2

j

e

g L

1

(Ω

j

)

.

14

MAX-NORM STABILITY OF LOW ORDER TAYLOR-HOOD ELEMENTS

IN THREE DIMENSIONS

Firstly, we estimate the term involving the set Ω

∗

h

3/2

e

g L

2

(Ω

∗

)

≤ h

3/2

e

g L

2

(Ω)

≤ Ch

5/2

( g

H

2

(Ω)

+ λ

H

1

(Ω)

)

≤ Ch

5/2

δ

h L

2

(T )

≤ C

Defining M

j

= d

3/2

j

e

g L

2

(Ω

j

)

, it follows that

(4.15)

e

g L

1

(Ω)

≤ CK

3/2

+

J

j=0

M

j

.

Step 2 (Initial Estimate for M

j

). Let us define the following sets:

Ω

j

=

{x ∈ Ω : d

j+2

≤ |x − z| ≤ d

j−1

}

Ω

j

=

{x ∈ Ω : d

j+3

≤ |x − z| ≤ d

j−2

}

Ω

j

=

{x ∈ Ω : d

j+4

≤ |x − z| ≤ d

j−3

}

Ω

j

=

{x ∈ Ω : d

j+5

≤ |x − z| ≤ d

j−4

}

We apply the local energy estimate proved in Theorem 2 to A

1

= Ω

j

and A

2

= Ω

j

(d = d

j

),

and any 0 < ε < 1,

e

g L

2

(Ω

j

)

≤ C ε

−1

η

g L

2

(Ω

j

)

+ (εd

j

)

−1

η

g L

2

(Ω

j

)

+ η

λ L

2

(Ω

j

)

(4.16)

+ε

e

g L

2

(Ω

j

)

+

C

εd

j

e

g L

2

(Ω

j

)

=

CI + ε

e

g L

2

(Ω

j

)

+

C

εd

j

e

g L

2

(Ω

j

)

.

(4.17)

We start treating the first three terms on the right-hand side.

I ≤ Cd

3/2

j

ε

−1

η

g L

∞

(Ω

j

)

+ (εd

j

)

−1

η

g L

∞

(Ω

j

)

+ η

λ L

∞

(Ω

j

)

(by C-S. ineq.)

≤ Cd

3/2

j

h

σ

(ε

−1

+ ε

−1

h

d

j

) g

C

1+σ

(Ω

j

)

+ λ

C

σ

(Ω

j

)

(by A2)

≤ Cd

3/2

j

h

σ

(ε

−1

+ ε

−1

h

d

j

)d

−3−σ

j

+ d

−3−σ

j

(by Lemma 4.1)

≤ Cd

−3/2

j

h

d

j

σ

ε

−1

+ ε

−1

h

d

j

+ 1

≤ Cd

−3/2

j

h

d

j

σ

ε

−1

1 +

h

d

j

Summarizing, we obtain the following estimate for M

j

M

j

≤ C

h

d

j

σ

ε

−1

1 +

h

d

j

+ εd

3/2

j

e

g L

2

(Ω

j

)

+ Cd

1/2

j

ε

−1

e

g L

2

(Ω

j

)

In Step 3 below we present a duality argument to estimate the last term on the right-hand

side.

Step 3 ( Duality argument). We use the following duality representation of the L

2

norm.

MAX-NORM STABILITY OF LOW ORDER TAYLOR-HOOD ELEMENTS

IN THREE DIMENSIONS

15

e

g L

2

(Ω

j

)

=

sup

v∈C

∞

c

(Ω

j

)

v

L2(Ω

j

)≤1

(e

g

, v).

Now, for each v ∈ C

∞

c

(Ω

j

) with v

L

2

(Ω

j

)

≤ 1, let w, ϕ be the solution of the problem:

−∆w +

ϕ

=

v

in Ω

· w = 0

in Ω

w

=

0

on ∂Ω.

Now, we test the variational problem associated with g − g

h

, i.e.

(e

g

, v)

=

( e

g

,

w) − (ϕ,

· e

g

)

=

( e

g

,

(w − Pw)) + ( e

g

,

Pw) − (ϕ − Rϕ,

· e

g

)

=

( e

g

,

η

w

) − (e

λ

,

· Pw) − (η

ϕ

,

· e

g

)

=

( e

g

,

η

w

) − (e

λ

,

· η

w

) − (η

ϕ

,

· e

g

)

=

( e

g

,

η

w

) − (η

λ

,

· η

w

) − (ξ

λ

,

· η

w

) − (η

ϕ

,

· e

g

)

=

( e

g

,

η

w

) − (η

λ

,

· η

w

) + ( ξ

λ

, η

w

) − (η

ϕ

,

· e

g

)

=:

J

1

+ J

2

+ J

3

+ J

4

In order to make the estimates for J

1

, J

2

, J

3

, J

4

clearer, we establish the following results.

Proposition 4.1. There exists C > 0 independent of h such that

(i)

η

w L

2

(Ω)

+ η

ϕ L

2

(Ω)

≤ Ch

(ii)

η

w L

∞

(Ω\Ω

j

)

+ η

ϕ L

∞

(Ω\Ω

j

)

≤ C

h

d

j

σ

d

−1/2

j

(iii)

η

λ L

2

(Ω

j

)

≤ Cd

−3/2

j

(iv)

η

λ L

1

(Ω)

≤ C.

Next, we split J

i

, into two terms as follows

J

i

= J

i

|

Ω

j

+ J

i

|

Ω\Ω

j

, for i = 1, 2, 3, 4.

For example J

1

= J

1

|

Ω

j

+ J

1

|

Ω\Ω

j

= ( e

g

,

η

w

)

Ω

j

+ ( e

g

,

η

w

)

Ω\Ω

j

and estimate them using

Cauchy-Schwartz inequality, in L

2

norm in Ω

j

and in L

1

− L

∞

norms in Ω\Ω

j

.

We start estimating J

1

, and J

4

using Proposition 4.1 (i) and (ii)

J

1

|

Ω

j

≤

e

g L

2

(Ω

j

)

η

w L

2

(Ω)

≤ Ch

e

g L

2

(Ω

j

)

,

J

1

|

Ω\Ω

j

≤

e

g L

1

(Ω)

η

w L

∞

(Ω\Ω

j

)

≤ Cd

−1/2

j

h

d

j

σ

e

g L

1

(Ω)

,

J

4

|

Ω

j

≤

η

ϕ L

2

(Ω)

e

g L

2

(Ω

j

)

≤ Ch

e

g L

2

(Ω

j

)

,

J

4

|

Ω\Ω

j

≤

η

ϕ L

∞

(Ω\Ω

j

)

e

g L

1

(Ω)

≤ Cd

−1/2

j

h

d

j

σ

e

g L

1

(Ω)

.

Hence

16

MAX-NORM STABILITY OF LOW ORDER TAYLOR-HOOD ELEMENTS

IN THREE DIMENSIONS

(4.18)

J

1

+ J

4

≤ Ch

e

g L

2

(Ω

j

)

+ Cd

−1/2

j

h

d

j

σ

e

g L

1

(Ω)

To estimate J

2

we apply Proposition 4.1 (i) and (ii) as before and then apply (iii) and (iv)

J

2

|

Ω

j

≤

η

λ L

2

(Ω

j

)

η

w L

2

(Ω)

≤

η

λ L

2

(Ω

j

)

Ch ≤ Chd

−3/2

j

J

2

|

Ω\Ω

j

≤

η

λ L

1

(Ω)

η

w L

∞

(Ω\Ω

j

)

≤

η

λ L

1

(Ω)

C

h

d

j

σ

d

−1/2

j

≤ C

h

d

j

σ

d

−1/2

j

.

Then

(4.19)

J

2

≤ C(hd

−3/2

j

+

h

d

j

σ

d

−1/2

j

)

It remains to estimate J

3

. We first estimate J

3

|

Ω

j

. Applying C-S. inequality and Prop. 4.1

(i), we get

J

3

|

Ω

j

= ( ξ

λ

, η

w

)

˜

Ω

j

≤

ξ

λ L

2

(Ω

j

)

η

w L

2

(Ω)

≤ Ch

2

ξ

λ L

2

(Ω

j

)

To estimate the term in the right-hand side we use the local inf-sup condition A5, the identity

e

λ

= η

λ

+ ξ

λ

, integration by parts, (4.12a), C-S. inequality and Prop. 4.1 (iii), obtaining

βh

ξ

λ L

2

(Ω

j

)

≤

sup

z∈V

h

supp(z)⊆ ˜

Ω

j

(ξ

λ

,

· z)

z

H

1

( ˜

Ω

j

)

≤

sup

z∈V

h

supp(z)⊆ ˜

Ω

j

(e

λ

− η

λ

,

· z)

z

H

1

( ˜

Ω

j

)

≤

η

λ L

2

( ˜

Ω

j

)

+

sup

z∈V

h

supp(z)⊆ ˜

Ω

j

(e

λ

,

· z)

z

H

1

( ˜

Ω

j

)

≤

η

λ L

2

( ˜

Ω

j

)

+

sup

z∈V

h

supp(z)⊆ ˜

Ω

j

( e

g

, z)

z

H

1

( ˜

Ω

j

)

≤

η

λ L

2

( ˜

Ω

j

)

+

e

g L

2

( ˜

Ω

j

)

≤ Cd

−3/2

j

+

e

g L

2

( ˜

Ω

j

)

,

where ˜

Ω

j

⊇ Ω

j

with dist( ˜

Ω

j

, Ω

j

) ≤ lh. Observe that Ω

j

⊆ ˜

Ω

j

⊂ Ω

j

Hence,

(4.20)

J

3

|

Ω

j

≤ Ch(Cd

−3/2

j

+

e

g L

2

( ˜

Ω

j

)

)

For J

3

|

Ω\Ω

j

, C-S. inequality and Prop. 4.1 (ii) yield to

J

3

|

Ω\Ω

j

≤

ξ

λ L

1

(Ω)

η

w L

∞

(Ω\Ω

j

)

≤ C

h

d

j

σ

d

−1/2

j

h

ξ

λ L

1

(Ω)

To estimate the term in the right-hand side we use the L

1

inf-sup condition (A 6), the identity

e

λ

= η

λ

+ ξ

λ

, integration by parts, (4.12a), C-S. inequality and Prop. 4.1 (iv), obtaining

MAX-NORM STABILITY OF LOW ORDER TAYLOR-HOOD ELEMENTS

IN THREE DIMENSIONS