Mövzu 10. Funksiyanin töRƏMƏSİ. TÖRƏMƏNİn həNDƏSİ VƏ mexaniKİ MƏnasi

Mövzu 10.FUNKSİYANIN TÖRƏMƏSİ. TÖRƏMƏNİN HƏNDƏSİ VƏ MEXANİKİ MƏNASI.
Plan

1. 
   Funksiyanın törəməsi.
   
2. 
   Törəmənin həndəsi mənası.Toxunan.
   
3. 
   Törəmənin mexanıkı mənası.
   

1.Funksiyanın törəməsi. Tutaq ki, funksiyası ( intervalında təyin olunmuşdur. Hər hansı nöqtəsini qeyd edək və arqumentə elə artımı verək ki, olsun. Onda funksiya uyğun artımı alır.
Tərif: Arqument artımı sıfıra yaxınlaşdıqda funksiya artımının arqument artımına nisbətinin sonlu limiti varsa, bu limitə funksiyasının nöqtəsində törəməsi deyilir və belə yazılır:

funksiyasının törəməsi yeni bir funksiyadır.
Laqranj törəməni ilə Leybins isə kimi işarə etmişdir.
Əgər nöqtəsində funksiyasının törəməsi varsa, bu halda deyirlər ki, funksiyası bu nöqtədə diferensiallanandır. Verilmiş intervalın hər bir nöqtəsində diferensiallanan funksiyaya həmin intervalda diferensiallanan funksiya deyilir.
Funksiyanın törəməsinin tapılmasına diferensiallama əməli deyilir. Törəməni tərifə görə tapmaq üçün aşağıdakı addımlar yerinə yetirilir.
1. tapılır.
2. fərqi sadələşdirilir.
3. nisbəti yazılır və sadələşdirilir.
4. olmaqla

limiti (varsa) tapılır.
Verilmiş nöqtəsində ( ( )) törəməsi olan funksiyaya həmin nöqtədə diferensiallanan funksiya deyilir. ( ) intervalının hər bir nöqtəsində törəməsi olan funksiya həmin intervalda diferensiallanan funksiya adlanır. Funksiyanın törəməsini tapmaq əməlinə həmin funksiyanın diferensiallanması deyilir
2.Törəmənin həndəsi mənası. Toxunan. Törəmə həndəsi olaraq , əyriyə çəkilən toxunanın bucaq əmsalıdır.
Çevrəyə toxunanı , həmin çevrə ilə yalnız bir nöqtəsi olan düz xətt kimi tərif edirlər. Bu tərif istənilən əyri üçün yaramır, çünki verilmiş əyrinin hər hansı A nöqtəsində ona toxunan düz xəttin , əyri ilə bir neçə ortaq nöqtəsi də ola bilər.

A

L

İxtiyari L əyrisi üzərində qeyd olunmuş A nöqtəsi və ondan fərqli C nöqrəsi götürüb , onlardan AC kəsənini keçirək. C nöqtəsi bu əyri üzərində qalmaqla , yerini dəyişdikcə , kəsən A nöqtəsi ətrafında dönəcək.

C
T
A

Əyri üzərində qalmaqla C nöqtəsi A nöqtəsinə yaxınlaşdıqda AC kəsəninin limit vəziyyəti olan AT düz xəttinə A nöqtəsində bu əyriyə çəkilən toxunan deyilir. (o zaman limit vəziyyəti deyilir ki, hərəkət zamanı həmin düz xətlər arasındakı bucaq sıfıra yaxınlaşsın)

Verilən tərifi funksiyasının qrafiki üzərində göstərək.
Tutaq ki, funksiyasının nöqtəsində törəməsi var. Göstərək ki, funksiyasının qrafikinə nöqtəsində toxunan var və həmin toxunanın bucaq əmsalı -a bərabərdir. Əyri üzərində başqa bir nöqtəsi götürək.






0

MN kəsənini çəkək və onun O oxunun müsbət istiqaməti ilə əmələ gətirdiyi bucağı ilə işarə edək.

Məlumdur ki, düz xəttin absis oxunun müsbət istiqaməti ilə əmələ gətirdiyi bucağın tangensinə həmin düz xəttin bucaq əmsalı deyilir.

Aydındır ki, N nöqtəsi əyri boyunca M nöqtəsinə yaxınlaşdıqca olar. Bunun tərsi də doğrudur.Əgər şərtində bicağı müəyyən bir limitinə yaxınlaşarsa , onda M nöqtəsindən keçən və O oxunun müsbət istiqaməti ilə bucağı əmələ gətirən düz xətt axtarılan toxunan olar. Toxunanın bucaq əmsalı üçün

və ya

alarıq.
Deməli, törəmə həndəsi olaraq əyriyə çəkilən toxunanın bucaq əmsalıdır.
Funksiyanın törəməsinin nöqtəsindəki qiyməti absisi olan nöqtədə qrafikə çəkilmiş toxunanın bucaq əmsalına bərabərdir:
( nöqtəsindən keçən və bucaq əmsalı k olan düz xəttin tənliyi şəklindədir. funksiyasının qrafikinə absisi olan nöqtədə çəkilmiş toxunanın tənliyi
olar. Bu tənliyə funksiyasının qrafikinə çəkilən toxunanın tənliyi deyilir.
funksiyasının qrafikinə absisi olan nöqtədə çəkilən toxunanın tənliyini yazaq.
, , olduğundan toxunanın tənliyi və ya olar.
3.Törəmənin mexaniki mənası. Hər hansı cismin düzxətli dəyişən sürətli hərəkətinə baxaq. Bu cismin ölçülərini və şəklini nəzərə almayaraq onu nöqtə hesab etmək olar.
Məlumdur ki, hərəkət edən nöqtənin getdiyi yol zamandan asılıdır : . Bu funksiyasına deyilir. Nöqtənin t vaxtda getdiyi yol vaxtda getdiyi yol isə olarsa onda nöqtə vaxtda məsafəsini gedmiş olar.

s(t)
0 A B

Bu halda

nisbəti , nöqtənin t anından anına qədər müddətdəki hərəkətinin orta sürətinə bərabər olar. (1) orta sürətinin -da limiti cismin t anındakı sürəti adlanır və

ilə işarə olunur. Törəmənin tərifinə görə (2) bərabərliyinin sağ tərəfi s(t) funksiyasının t dəyiıəninə nəzərən törəməsidir: .
Buradan törəmənin mexaniki mənası alınır: hərəkət edən nöqtənin sürəti gedilən məsafənin zamana görə törəməsinə bərabərdir.

Riyaziyyat
Müəllim : Eyubova Sevinc