Mövzu 9 Diferensial tənliklər Tərif

8.6. İki tərtibli diferensial tənliklərin intqerallanan növləri

Sərbəst dəyişən, bu dəyişəndən asılı axtarılan funksiya, onun birinci və ikinci tərtib törəməsi daxil olan tənliyə ikitərtibli diferensial tənlik deyilir. Bu tənliyi ümumi şəkildə aşağıdakı kimi yazmaq olar

(1)
İkitərtibli diferensial tənliyi eyniliyə çevirən x məchulundan və iki sərbəst ixtiyari C₁ və C₂ sabitlərindən asılı olan funk­siyasına bu tənliyin ümumi həlli deyilir.
(1) tənliyinin ümumi həllindən C₁ və C₂ ixtiyari sabitlərinin verilmiş qiymətlərində alınan həllinə (1) tənliyinin xüsusi həlli deyilir.
Əgər tənliyi yüksək törəməyə nəzərən həll ediləndirsə, onda bu tənliyi
(2)
şəklində göstərmək olar.
Sadə inteqrallanan ikitərtibli diferensial tənliklərə elə tənliklər aiddir ki, (2) bərabərliyinin sağ tərəfində duran funksiya yalnız üç arqumentin birindən asılı olsun.
I növ. Tutaq ki,
(3)
olsun.Diferensial tənliyi həll etmək üçün inteqrallasaq

alarıq.
Yenidən inteqrallasaq isə,
(4)
olar.
(4) bərabərliyi (3) şəklində verilmiş diferensial tənliyin həlli olar (burada C₁ və C₂ - ixtiyari sabitlərdir).
II növ. Tutaq ki,
(5) (4)
Burada

götürsək ( p-yə y-dən asılı funksiya kimi baxsaq)

alarıq.
Nəticədə, (4) tənliyi aşağıdakı şəklə düşər


olar.
Sonuncu tənliyi inteqrallasaq alarıq:


olduğundan əvvəlki tənliyi

şəklində yazmaq olar.
Sonuncu ifadəni bir daha dəyişənlərə ayırıb, inteqrallasaq

alarıq.
III növ.Tutaq ki,
(6)

Burada qəbul edək. Onda

olar və (6) tənliyi aşağıdakı şəklə düşər

Dəyişənlərinə ayırıb, inteqrallasaq


alınar.
Bu tənlikdən kəmiyyətini müəyyən edərək ikinci dəfə inteq­rallama yolu ilə y-i də tapmaq olar.
Tərtibin azaldılması halları
İkitərtibli
(1)
diferensial tənliyinin birtərtibli diferensial tənliyinə gətirildiyi aşağıdakı iki hala baxaq.
I hal. Tutaq ki, (1) diferensial tənliyinin sağ tərəfində x dəyişəni aşkar şəkildə daxil deyildir, yəni tənlik
(2)
şəklindədir.
Burada
və
götürərək

birtərtibli diferensial tənliyi alarıq. Burada y sərbəst dəyişən kimi çıxış edir.
II hal. Tutaq ki, (1) diferensial tənliyinin sağ tərəfində y dəyişəni aşkar şəkildə daxil deyildir, yəni tənlik
(3)
şəklindədir. Burada
və
qəbul edərək məchul p funksiyasının daxil olduğu birtərtibli diferensial tənlik alarıq