Mövzu Xətti tənliklər sistemi. Plan

Mövzu 2. Xətti tənliklər sistemi.


Plan
§1. Xətti tənliklər sistemi haqqında anlayış.
§2. n məchullu n xətti tənlik sistemi. Kramer üsulu.
§3. Xətti tənliklər sisteminin matris üsulu ilə həlli.
§4. Qauss üsulu.





§1. Xətti tənliklər sistemi haqqında anlayış.


(1)
_şəklində olan sistem n məchullu m xətti tənliklər sistemi və ya xətti sistem adlanır, burada a_{ij , bi () – ədədlərdir. Tənliklərin sağ tərəflərindəki ədədlərinin hamısı sıfra bərabər olarsa, onda həmin sistemə bircins xətti tənliklər sistemi deyilir. ədədlərinin heç olmasa biri sıfırdan fərqli olduqda (1) sisteminə bircins olmayan xətti tənliklər sistemi deyilir. Sistemə daxil olan tənliklərin hər birini ödəyən qiymətlər çoxluğuna həmin sistemin həlli deyilir.}
Verilmiş sistemin həlli ola da bilər, olmaya da bilər; sistemin həlli varsa, ona uyuşan və ya birgə sistem, əks halda isə uyuşmayan və ya birgə olmayan sistem deyilir. Tənliklər sistemi uyuşan olduqda onun bir və ya birdən çox həlli ola bilər. Tənliklərin sayı məchulların sayına bərabər olanda sistemə kvadrat sistem deyilir.
(1) xətti tənliklər sistemini matris tənliyi şəklində yazmaq olar.
Məchulların əmsallarından düzəlmiş matrisi A, sağ tərəfdəki məlum ədədlərdən düzəlmiş sütun-matrisi B, axtarılan məchullardan düzəlmiş sütun-matrisi isə X ilə işarə edək:
, , .
A matrisin sütunlarının sayı X matrisinin sətirlərinin sayına bərabər olduqdan, AX hasilini tapa bilərik
.
(1) tənliklər sisteminin sağ tərəfi B sütun-matrisin elementləridir və buna görə də matrislərin bərabərliyi şərtinə əsasən
AX = B (2)
yazmaq olar. (2) tənliyinə matris-tənlik deyilir.




§2. n məchullu n xətti tənlik sistemi. Kramer üsulu.


Tutaq ki, kvadrat xətti tənliklər sistemi (yəni n məchullu n tənlik) verilmişdir
(1)
və əsas matirisin determinantı sıfırdan fərqlidir:
. (2)
Tutaq ki, (1) sisteminin hər hansı bir həllidir. Onda (1) bərabərliklərini uyğun olaraq əsas matrisin determinantının hər hansı j sütunun elementlərinin cəbri tamamlayıcılarına vurub və sonra alınan bərabərlikləri toplasaq alarıq:
.
Burada i sütun elementlərinin j sütunun elementlərinin uyğun cəbri tamamlayıcılarına hasillərinin cəmi olanda sıfra və i = j olanda determinanta bərabər olmasını nəzərə alsaq son bərabərlikdən alarıq
. (3)
Əsas matrisin determinantından j sütununu sabit hədlər sütunu ilə əvəz etməklə (-nın bütün başqa sütunlarını saxlamaq şərti ilə) alınan determinantı ilə işarə edək.
Qeyd edək ki, (3)-ün sağ tərəfində elə həmin determinantı durur və bu bərabərlik aşağıdakı şəkilə düşər:
(). (4)
Əsas matrisin determinantı sıfırdan fərqli olduğundan (4) bərabərlikləri aşağıdakı nisbətlərə ekvivalentdirlər
(). (5)
Beləliklə, əsas matrisinin (2) determinantı sıfırdan fərqli olan (1) sisteminin həlləri birqiymətli olaraq (5) düsturları vasitəsilə təyin edilir. Bu düsturlar Kramer düsturları adlanırlar.

§3. Xətti tənliklər sisteminin matris üsulu ilə həlli.


Tutaq ki, n məchullu n xətti tənliklər sistemi verilmişdir
(1)
və məchulların əmsallarından düzəlmiş əsas matrisin
(2)
determinantı sıfırdan fərqlidir.
(1) sistemini ona ekvivalent olan matris tənliyi ilə əvəz edək