Muhammad al-xozazmiy nomidagi toshkent axborot texnologiyalari universiteti

Differensial tenglama qator ko’rinishidagi yechimining grafigi.

Misol:Koshi masalasining to 6-chi tartibli darajali qator ko’rinishida yaqinlashuvchi yechimini hamda aniq yechimlarini toping:



Eslatma:Differensial tenglamaning qator ko’rinishidagi yechim tipi series, shuning uchun ham keyinchalik shunday yechimni ishlatish uchun (hisoblash yoki grafikni chizish) uni albatta convert komanda yordamida polinomga konvertlash kerak.

Ushbu rasmda, darajali qator yordamida yechimning eng aniq qiymati tanlangan 1 < x < 1 intervalda bo’lganligi.

3. 
   Darajali qatorlar yordamida integrallashga misollar.
   

1-misol:Tenglamani boshlang’ich shart u(0)=1, u^’(0)=0 ni qanoatlantiruvchi yechimi topilsin.

y^”=x²u (1)

Yechish: Bu misol uchun qator quyidagi ko’rinishda yoziladi:

(1) dan ketma-ket hosila olsak

y⁽³⁾=2xy+x²y ^’
y⁽⁴⁾=2y+2xy ^’+2xy ^’+ x²y ^’’=2y+4xy ^’+ x²y ^’’
y⁽⁵⁾=2y ^’+4y ^’+4xy ^’’+2xy ^’’+ x²y ^’’’=6y ^’+6xy ^’’+ x²y ^’’’
y⁽⁶⁾=12y ^’’+8xy ^’’’+ x²y⁽⁴⁾
y⁽⁷⁾=20y ^’’’+10xy⁽⁴⁾+ x²y⁽⁵⁾
y⁽⁸⁾=30y⁽⁴⁾+12xy⁽⁵⁾+ x²y⁽⁶⁾

Bu tengliklarning har biriga boshlang’ich shartlarni qo’llasak quyidagilarni topamiz:

y^’’(0)=0; y^’’’(0)=0; y⁽⁴⁾(0)=2; y⁽⁵⁾(0)=y⁽⁶⁾(0)=y⁽⁷⁾(0)=0;
y⁽⁸⁾(0)=60.

Bularni (1) ga qo’ysak izlanayotgan yechimni topamiz:

2-misol:Koshi masalasining yechimini toping:

5-chi tartibli aniqlikda darajali qator ko’rinishida yechimni izlang.

4. 
   Xulosa.
   

Differensial tenglamalarni yuqori bo’limlardagidek aniq yechimini topish juda kamdan kam hollardagina mumkin bo’ladi. Amaliyotda uchraydigan ko’plab masalalarga aniq yechish usullarini qo’lashning iloji bo’lmaydi. Shuning uchun bunday differensial tenglamalarni taqribiy yoki sonli usullar yordamida yechishga to’g’ri keladi.

Taqribiy usullar deb shunday usullarga aytiladiki, bu hollarda yechimlar biror funksiyalar (masalan, elementar funktsiyalar) ketma-ketligining limiti ko’rinishida olinadi.

Sonli usullar - noma’lum funksiyaning chekli nuqtalar to’plamidagi taqribiy qiymatlarini xisoblash usullaridir. Bu xollarda yechimlar sonly jadvallar ko’rinishida ifadalanadi.
Hisoblash matematikasida yuqorida keltirilgan bu guruhlarga tegishli bo’lgan ko’plab usullar ishlab chiqilgan. Bu usullarning bir-birlariga nisbatan o’z kamchiliklari va ustunliklari mavjud. Muhandislik masalalarini yechishda shularni hisobga olgan holda u yoki bu usulni tanlab olish lozim bo’ladi.

5. 
   Foydalanilgan adabiyotlar.
   

Kitoblar:

1. 
   Xurramov Sh.R. «Oliymatematika». 1-2 jild. Toshkent, “Tafakkur” nashriyoti, 2018.
   
2. 
   Соатов Ё.У Олий математика. Т., Ўқитувчи, 1995. 1-5қисмлар.
   

Saytlar:

1. 
   http://hozir.org
   
2. 
   http://libraryziyonet.uz
   
3. 
   http://www.vikipedia.org