Mühazirə 15 Xətti operatorun rezolvent çoxluğu və spektri

Nəticə. Əgər məhdud operator isə, onda qeyri-məhdud çoxluqdur.
Tərif. rezolvent çoxluğunun bütün kompleks müstəviyə tamamlayıcı çoxluğuna operatorunun spektri deyilir və kimi işarə edilir.
Teorem 1-dən çıxır ki, istənilən xətti operatorun spektri qapalı çoxluqdur (açıq çoxluğun tamamlayıcısı olduğu üçün).
Teorem 2-dən isə alınır ki, xətti məhdud operator isə, onun spektri , yəni operatorunun spektri dairəsi daxilində yerləşir. Bu halda spektr məhdud çoxluqdur.
Əgər olarsa, bu halda aşağıdakı iki hal mümkündür:
1) operatoru yoxdur. Bu halda operatorunun məxsusi ədədidir. Bütün bu nöqtələr operatorunun nöqtəvi spektri adlanır.
2) operatoru vardır, amma bütün fəzada təyin olunmamışdır. -nın bu qiymətli operatorunun kəsilməz spektri adlanır.
Beləliklə, -nın hər bir qiyməti ya requlyar nöqtədir, ya məxsusi ədəddir, ya da kəsilməz spektrdir.
Qeyd edək ki, operatorun kəsilməz spektrinin varlığı sonsuz ölçülü fəzalarda təyin edilmiş operatorların sonlu ölçülü fəzalarda verilmiş operatorlardan ciddi fərqini göstərən əlamətdir.
Misallara baxaq.
Misal 1. Əgər fəzası sonlu ölçülü fəza isə, onda bu fəzada istənilən xətti operatorun spektri yalnız məxsusi ədədlərdən ibarətdir. ölçülü evklid fəzasında təyin edilmiş hər bir öz-özünə qoşma operatorun, təkrarlanma tərtibi nəzərə alınmaqla sayda məxsusi ədədləri vardır. Bütün bu məxsusi ədədlər həqiqidir və bu məxsusi ədədlərə uyğun məxsusi vektorlardan fəzasının ortonormal bazisini seçmək olar.
Misal 2. Sonsuz ölçülü Banax fəzasında hər bir tamam kəsilməz operatorun spektri ən çoxu hesabi sayda məxsusi ədədlərdən ibarətdir, belə ki, bu məxsusi ədədlərin yeganə limit nöqtəsi nöqtəsi ola bilər.
Əgər ədədi operatorun məxsusi ədədi deyilsə, onda ədədi operatorun rezolvent çoxluğuna daxildir. Doğrudan da, bu halda operatorunun nüvəsi, , ona görə də -nin kəsilməz tərsi vardır. nöqtəsi həmişə spektrə daxildir, . nöqtəsi operatorunun məxsusi ədədi olmadığı halda operatorunun tərsi varsa, onda qeyri-məhdud operatordur.