Mühazirə 15 Xətti operatorun rezolvent çoxluğu və spektri

Mühazirə 15
Xətti operatorun rezolvent çoxluğu və spektri

Riyaziyatın müxtəlif sahələrində

, yaxud (1)
şəklində tənliklərə rast gəlinir. Burada müəyyən Banax fəzasında təyin edilmiş xətti operator, isə kompleks parametrdir. (1) tənliyi ilə bərabər
, yaxud (2)
tənliyinə də baxaq. (2) tənliyinə (1)-ə uyğun bircins tənlik deyilir. Aydındır ki, (2) tənliyinin həmişə trivial həlli vardır.
Fərz edək ki, parametrinin müəyyən qiymətində operatorunun tərs operatoru vardır. operatoru operatorunun rezolventası adlanır. -nın bu qiymətlərində (1) tənliyinin istənilən üçün həlli vardır. Bu halda (2) tənliyinin yeganə trivial həlli olar. parametrinin istənilən üçün (1) tənliyinin yeganə həllinin olduğu və operatorunun məhdud olduğu bu qiymətlərinə operatorunun requlyar nöqtələri deyilir. operatorunun bütün requlyar nöqtələri çoxluğunu ilə işarə edək. -ya operatorunun rezolvent çoxluğu deyilir.
operatoruna operatorunun rezolventası deyilir.
Rezolvent çoxluğun bəzi xassələrini göstərək.
Teorem 1. rezolvent çoxluğu açıq çoxluqdur.
Isbatı. Tutaq ki, . Bu o deməkdir ki, -nin kəsilməz tərsi vardır. operatoru üçün aşağıdakı bərabərlik doğrudur:

(3)
Şərtə görə -nin kəsilməz tərsi vardır. -nin kəsilməz tərsinin olması üçün operatorunun kəsilməz tərsi olmalıdır.
Tərs operatorun varlığı teoreminə görə operatorunun o zaman kəsilməz tərsi olar ki,

şərti ödənilsin.
Alırıq ki, əgər isə, onda dairəsi də çoxluğuna daxildir, belə ki, . Bu o deməkdir ki, açıq çoxluqdur. Teorem isbat edildi.
Teorem 2. Əgər isə, onda doğrudur.
Isbatı. Doğrudan da bərabərliyinə görə , yəni olarsa, bu halda -nin kəsilməz tərsi olar. Deməli, şərtini ödəyən bütün nöqtələri çoxluğu rezolvent çoxluğuna daxildir. Teorem isbat olundu.