Mühazirə 7- təsadüfi kəmiyyət və onun ehtimal paylanması

Mühazirə 7- Təsadüfi kəmiyyət və onun ehtimal paylanması.

Təsadüfi kəmiyyət anlayışı ehtimal nəzəriyyəsinin ən mühüm anlayışlarından biridir.

ehtimal fəzasında təyin olunmuş, ℱ- ölçülən ədədi funksiyasına təsadüfi kəmiyyət deyilir: : Ω

ℱ- ölçülənlik o deməkdir ki, ixtiyari x R üçün

.

Tərifdən görünür ki, təsadüfi kəmiyyətin arqumenti elementar hadisələrdir. Başqa sözlə təsadüfi kəmiyyət sınağın nəticələrinin funksiyasıdır. Bu o deməkdir ki, təsadüfi kəmiyyətin aldığı konkret qiymətləri qabaqcadan söyləmək olmaz. Amma təsadüfi kəmiyyətin ala biləcəyi qiymətlər çoxluğunu qabaqcadan vermək olar.

Misallar.

1. 
   Bir metal pulun bir dəfə atılması eksperimentində gerb üzünün düşməsi sayını  ilə işarə edək.
   

Aydındır ki,  -nin iki mümkün qiyməti olacaqdır 0 və 1. Lakin bu qiymətlərdən hansını alacağının dəqiq söyləmək mümkün deyil. başqa sözlə  sınağın nəticəsindən asılı olaraq qiymət alan funksiyadır, yəni təsadüfi kəmiyyətdir.

Əgər metal pul 3 dəfə atılırsa, bu zaman gerb üzünün düşməsi sayını ifadə edən  kəmiyyətinin mümkün qiymətləri 0, 1,2,3 olar.

Müəyyən bir canlının yaşama müddəti, müəyyən bir cihazın fasiləsiz işləmə müddəti də təsadüfi kəmiyyətə missal ola bilər.

Aşağıdakı misal təsadüfi kəmiyytin tərifindəki ℱ- ölçülənlik şərtinin mühüm olduğunu göstərir.

Misal 1. Ω olsun

ℱ ilə Ω-nın bütün mümkün altçoxluqlarının doğurduğu . İxtiyari A ℱ hadisəsinin ehtimalını aşağıdakı kimi təyin edək:

P .

Ω -da  funksiyası təyin edək :

 k ,k .

 funksiyası Ω-da təsadüfi kəmiyyətdirmi ?

Bu suala cavab vermək üçün  funksiyasının ℱ- ölçülən olduğunu göstərmək lazımdır.

1. x 1 , ℱ.

2. 1 , .

3. 2 ., .

4. 3 ., .

5. x . .

Deməli, ℱ- ölçüləndir və təsadüfi kəmiyyətdir.

Misal 2. Ölçülənlik şərtinin pozulması ilə bağlı misal qurun.

Təsadüfi kəmiyyətin paylanama funksiyası

P , R funksiyasına  təsadüfi kəmiyyətin paylanama funksiyası deyilir.

Bu funksiyanın təyin oblastı R , qiymətlər çoxluğu isə .

Xassələri.

1. Paylanma funksiyası azalmayan funksiyadır, yəni ixtiyari üçün

Isbatı. götürək. Onda

Alırıq ki, .

olduğunu nəzərə alsaq

alarıq.

2. Paylanma funksiyası sağdan kəsilməzdir:

= .



elementar hadisələr çoxluğu sonlu və ya hesabi çoxluq olduğu üçün təsadüfi kəmiyyətinin qiymətlər çoxluğu da sonlu və ya hesabi olacaqdır. Əgər təsadüfi kəmiyyətinin aldığı qiymətlər çoxluğu sonlu olarsa, belə təsadüfi kəmiyyətlər sadə təsadüfi kəmiyyətlər adlanır. Hesabi sayda qiymətlər çoxluğuna malik olan təsadüfi kəmiyyətlər diskret təsadüfi kəmiyyətlər adlanır. Aydındır ki, sadə təsadüfi kəmiyyət də diskret təsadüfi kəmiyyətdir.

Tutaq ki, təsadüfi kəmiyyəti qiymətləri alır.

işarə edirik. Sadə təsadüfi kəmiyyətlərə aid olan hadisənin indikatoru anlayışı ilə tanış olaq.

Hər hansı B hadisəsinin indikatoru aşağıdakı kimi təyin olunur:

İndikatorun aşağıdakı xassələri vardır:

1. 
   
   
2. 
   
   
3. 
   
   
4. 
   üçün
   
5. 
   
   

İndikator anlayışı ehtimal nəzəriyyəsində hesablama işlərini sadələşdirir və riyazi ifadənin kompakt yazılışını təmin edir.

İndikator anlayışından istifadə edərək diskret kəmiyyətini belə yazmaq olar:

Tərif. Tutaq ki, təsadüfi kəmiyyəti qiymətlərini

ehtimalları ilə alır. Əgər

1. və

2.

olarsa, onda , cütlər çoxluğuna təsadüfi kəmiyyətinin paylanma qanunu deyilir. Bu qanun cədvəl və qrafiklə aşağıdakı kimi verilir: ehtimallar ailəsinə diskret paylanma deyilir.

Diskret təsadüfi kəmiyyətlərin aldığı qiymətlərin müəyyən bir çoxluğa daxil olma hadisəsinin ehtimalını tapmaq üçün , paylanma funksiyası anlayışından istifadə olunur.

			…

Cədvəl

Diskret təsadüfi kəmiyyətlər üçün paylanma funksiyasının ifadəsi belədir:

Misal. Fərz edək ki, diskret təsadüfi kəmiyyətinin paylanma qanunu aşağıdakı cədvəl şəklində verilmişdir:

Paylanma funksiyasını tapın və qrafikini qurun..

Həlli. Cədvəldən görünür ki, edərək diskret təsadüfi kəmiyyətinin qiymətləri ədəd oxunu 5 kəsişməyən aralığa bölür. Bu aralıqların hər birində paylanma funksiyasının qiymətini müəyyən etməliyik.

1. 
   
   

2. 
   
   

3. 
   
   

4. 
   
   

5.