Mühazirələr Orta İxtisas Təhsil müəssisələrində fənnin tədrisi üçün nəzərdə tutulub

Birinci kateqoriya simvolları:

x, y, z, ..., 𝑥₁, 𝑥₂,...

Bu simvolları dəyişən mülahizələr adlandıracağıq.

İkinci kateqoriya simvolları:

𝖠, ∨, →, ⇔, −

Onlar məntiqi bağlayıcılar adlanır.

1-ci-dizyunksiya, yaxud məntiqi toplama, 2-ci- konyunksiya, yaxud məntiqi vurma, 3-cü- implikasiya, yaxud məntiqi izləmə, 4-cü- ekvivalensiya,

5-ci - inkar işarəsidir.

Üçüncü kateqoriya simvollar:

mötərizə adlanan ( ) simvollar cütlüyü.

Mülahizələr hesabının bunlardan başqa simvolları yoxdur.

Mülahizələr hesabının düsturları mulahizələr hesabının əlifbasındakı simvollar ardıcıllığının yazılışıdır. Düsturları işarə etmək üçün latın əlifbasının böyük hərflərindən istifadə edəcəyik. Bu hərflər mülahizələr hesabının simvolları deyildir, onlar düsturların şərti işarələridirlər.

Mülahizələr hesabının düsturlarının tərifi.

⦿ Hər bir x, y, z, ... dəyişəni düsturdur.

⦿ Əgər А və В- düsturdursa, onda (A 𝖠 B), (A ∨ B), (A → B) , (A ⇔ B), 𝑨^̅ - sözləri də düsturdur. Bunlardan başqa heç bir simvollar sətri düstur deyildir.

Dəyişən mülahizələri elementar düsturlar adlandırırlar.

Mülahizələr hesabının aksiomlar sistemi aşağıdakı aksiomdan ibarətdir və dörd

qrupa bölünür. Birinci qrup aksiomlar (daxilində yalnız implikasiya olan aksiomlar):

_{1 :}

x  y  x_. ^{ 2} _: ^{x  y  z x  y  x  z}_.

İkinci qrup aksiomlar (implikasiyaya konyuksiya əlavə olunur):

^{ 1} _: x  y  x.

 _{2 :}

x  y  y _.

^ 3 _: ^{z  x z  y z  x  y}_.

Üçüncü qrup aksiomlar (implikasiyaya dizyunksiya əlavə olunur):

  _{1 :}
x  x  y



_{2 :} y  x  y.

^{  3} _: x  z  y  z  (x  y  z) _.

Dördüncü qrup aksiomlar (implikasiyaya inkar əlavə olunur):

^V1 _: x  y   y  x.

V_{2 :}

x  x

V_{3 :}

10. 
     x.
    

İsbat oluna bilən (çıxarılan) düsturu.

1. 
   Hər bir aksiom isbat oluna bilən düsturdur.
   
2. 
   İsbat oluna bilən düsturdan, x dəyişəninin yerinə ixtiyari B düsturunu yazmaqla alınan düstur isbat oluna biləndir.
   

3. 
   İsbat oluna bilən А və biləndir.
   

A  B

düsturlarından NQ-sı ilə alınan B düsturu da isbat olun

4. 
   Mülahizələr hesabının heç bir digər düsturu isbat oluna bilən deyildir.
   

İsbat oluna bilən düsturun alınması prosesini düsturun isbatı (çıxarılışı) adlandıracağıq. Bu proses, hər bir addımda aksiom, əvəzləmə qaydası və nəticə qaydasından ardıcıl istifadə etməklə bir isbat oluna bilən düsturdan digər isbat oluna bilən düstura keçid prosesidir (müəyyən mənada məntiq cəbrində eynigüclü çevirmələr vasitəsi ilə bir düsturdan digərinin alinması prosesinin analoqudur). Qeyd edək ki, hətta sadə düsturun belə çıxarılışı çoxmərhələli olması səbəbindən çox həcmli ola bilər.

Mülahizələr hesabının həll oluna bilmə problemi. Mülahizələr hesabının həll oluna bilmə probleminin mahiyyəti, mülahizələr hesabının istənilən verilmiş düsturunun isbat oluna bilən olub yaxud olmadığını müəyyənləşdirməyə imkanverən alqoritmin mövcudluğunu isbat etməkdən ibarətdir. Bu problem üçün aşağıdakı teorem doğrudur. Teorem. Mülahizələr hesabı üçün “həll oluna bilmə” problemi həll oluna biləndir. Doğrudan da, mülahizələr hesabının hər bir düsturuna mülahizələr cəbrinin düsturu kimi baxmaq olar. Deməli düstura daxil olan dəyişənlərin müxtəlif qiymətləri yığımında onun məntiqi qiymətlərini təyin etmək olar. Tutaq ki, A mülahizələr hesabının ixtiyari düsturudur, х₁,х₂,…,х_n –bu düstura daxil olan dəyişənlərin tam siyahısıdır. ^{Ra1 ,a 2 , ... ,a n (A)} ifadəsinin qiymətlərini, ona daxil olan dəyişənlərin bütün а₁, а₂,…,а_n vektor qiymətləri çoxluğunda hesablayaq. Əgər bu zaman mümkün olan ixtiyari а₁, а₂,…,а_n vektor qiymə-

tində

^Ra ,a , ... ,a ^{(A)  1}

olarsa, onda A düsturu eyniliklə doğru olur və deməli, eyniliklə

1 2 n
doğru düsturun isbat oluna bilən olması teoreminə görə o, isbat oluna biləndir.

Mülahizələr hesabının ziddiyyətsizliyi problemi. Məntiq hesabında biri digərinin inkarı olan iki düsturdan heç biri isbat oluna bilən deyilsə, bu məntiq hesabı ziddiyyətsiz adlanır. Başqa sözlə desək, aksiomatik hesab o zaman ziddiyyətsiz hesab edilir ki, orada

elə bir A düsturu olmasın ki, A düsturunun həm özü, həm də ^A inkarı eyni zamanda isbat oluna bilən olsun. Ziddiyyətsizlk problemi verilmiş hesabın ziddiyyətsiz olub, yaxud olmamasını aydınlaşdırmaq məsələsidir. Əgər hansısa bir hesabda А və ^A şəklində isbat oluna bilən düstur olarsa, onda belə hesab ziddiyyətli adlanır. Biz baxdığımız mülahizələr hesabında, eyni zamanda А və ^A düsturlarının çıxarılışı mümkün deyildir, yəni,mülahizələr hesabı ziddiyyətsizdir.

Mülahizələr hesabının tamlıq problemi. Tərif 1. Əgər mülahizələr hesabının

aksiomları siyahısına bu hesabdan yeni aksiom olaraq istənilən isbat olunmayan düstur əlavə olunması onu ziddiyyətli hesaba gətirərsə, onda bu mulahizələr hesabı tam adlanır. Tərif 2. Əgər mülahizələr fəzasında istənilən eyniliklə doğru formula isbat olunandırsa, onda mülahizələr hesabı geniş mənada tam adlanır. Bu təriflərdən alınır ki, mülahizələr hesabının tamlıq problemi iki sualı özündə cəmləşdirir: 1. Aksiomatik hesabın aksiomları sistemini, ona yeni aksiom olaraq bu hesabdan hər hansı isbatolunmayan formul əlavə etməklə genişləndirmək mümkündürmü? 2. Mülahizələr hesabında mülahizələr hesabının hər bir eyniliklə doğru formulu isbatolunabiləndirmi? Burada bizm baxdığımız mülahizələr hesabı həm dar, həm də geniş mənada tamdır.

Mülahizələr hesabının aksiomlarının asılı olmaması. Hər bir aksiomatik hesab üçün onun aksiomlarının asılı olmaması sualı meydana çıxır. Bu sual belə qoyulur: Verilmiş sistemin çıxarış qaydalarını tətbiq etməklə hansısa bir aksiomu digər aksiomlardan nəticə kimi çıxarmaq mümkündürmü? Əgər hansısa aksiomlar sistemi üçün bu mümkün olarsa, onda bu aksomu həmin sistemdən kənarlaşdırmaq olar və bu zaman məntiqi hesab dəyişmir, yəni isbat oluna bilən düsturlar sinfi dəyişməz olaraq qalır.

Tərif 3. Əgər A aksiomu aksiomlar hesabının qalan aksiomlarından nəticə kimi çıxarıla bilməzsə, onda deyirlər ki, A aksiomu qalan aksiomlarda asılı deyildir. Əgər aksiomlar sisteminin hər bir aksiomu digər aksiomlardan asılı olmasa, onda bu hesabın aksiomları sistemi asılı olmayan adlandırılır. Bizim baxdığımız mulahizələr hesabının aksiomları sistemi asılı deyildir.