Ikki to‘plam kesishmasining proobrazi shu to‘plamlar proobrazlarining kesishmasiga teng ekanligini isbotlang.
(A ∩ B) = (A) ∩ (B).
Yechimi. x element (A ∩ B) to‘plamning ixtiyoriy elementi bo‘lsin. U holda f(x) ∈ A ∩ B. Bundan f(x) ∈ A va f(x) ∈ B munosabatlarning o‘rinli ekanligi kelib chiqadi. Bu munosabatlardan esa x ∈ (A) va x ∈ (B) munosabatlarning o‘rinli bo‘lishi ko‘rinadi. Natijada x ∈ (A) ∩ (B). U holda (A ∩ B) ⊂ (A) ∩ (B). Aksincha, x ∈ (A) ∩ (B) ixtiyoriy element bo‘lsin. U holda f(x) ∈ A va f(x) ∈ B. Bundan f(x) ∈ A ∩ B ekanligi ko‘rinadi. Natijada x ∈ (A ∩ B). Demak, (A ∩ B) ⊃ (A) ∩ (B).
Ikki to‘plam birlashmasining obrazi shu to‘plamlar obrazlarining birlashmasiga tengligini isbotlang:
f(A ∪ B) = f(A) ∪ (B).
Yechimi. y ∈ f(A ∪ B) ixtiyoriy element bo‘lsin. U holda A ∪ B to‘plamda y = f(x) tenglikni qanoatlantiruvchi x element mavjud. Bu x element A yoki B to‘plamning birortasiga tegishli bo‘lgani uchun y ∈ f(A) ∪ f(B). Shuning uchun f(A ∪ B) ⊂ f(A) ∪ f(B). Aksincha, f(A)∪f(B) to‘plamga tegishli ixtiyoriy y element olaylik. U holda A ∪ B to‘plamda y = f(x) tenglikni qanoatlantiradigan x element mavjud bo‘ladi. Bundan y ∈ f(A ∪ B) ekanligi kelib chiqadi. Shuning uchun f(A ∪ B) ⊃ f(A) ∪ f(B).
Teorema 1. f : A B akslantirish va X ,Y A lar uchun f X Y f X f Y tenglik o’rinli. (Birlashmaning obrazi obrazlar birlashmasiga teng.)
Isboti: Aytaylik, b f X Y bo’lsin. Demak, shunday a X Y mavjudki, uning uchun f a b. Agar a X bo’lsa, u holda f a b f X, bundan esa
b f X f Y kelib chiqadi. Xuddi shuningdek, aY ham isbotlanadi. Demak ,
f X Y f X f (Y) ekanligi isbotlandi.
Endi b f X f Y bo’lsin. Aniqlik uchun b f X ni qaraylik, demak, shunday a X mavjudki, uning uchun f a b. Bundan a X va a X Y ekanligi, demak, b f X Y ekanligi kelib chiqadi. Xuddi shuningdek, b f Yham isbotlanadi.
Demak, f X f Y f X Y ekanligi isbotlandi.
f X Y f X f (Y) va f X f Y f X Y o’rinli bo’lsa,demakki, f X Y f X f Y tenglik o’rinli.
