Mustaqil ish mavzu: funksiya tushunchasi bajardi: gafurov dilshod

Funksiyani berilish usullari

1. To‘plam tushunchasi. «To‘plam» tushunchasi matematikaning ta‘rifsiz qabul qilingan asosiy tushunchalaridan biri bo‘lib, ba‘zi belgilariga asosan birgalikda qaraladigan obyektlar yoki narsalar (predmetlar) majmuasidir. To‘plamni tashkil qiluvchi har bir obyekt yoki narsa uning «elementi» deyiladi. To‘plam tushunchasi misollar yordamida tushuntiriladi. Masalan, Samarqand shahridagi umum ta’lim maktablari, Quyosh sistemasidagi planetalar, barcha natural sonlar, barcha to‘g‘ri kasrlar va hokazolar to‘plamni tashkil etadi. To‘plamlar lotin yoki grek alfavitining bosh harflari bilan, uning elementlari esa kichik harflari bilan belgilanadi. Masalan, А, В, C, D, ..., X, Y, Z lar bilan to‘plamni, a, b, c, d, x, y, z lar bilan esa to'plamning elementlari belgilanadi. Agar A to‘plamning elementi a bo‘lsa, a e A kabi yoziladi va «a element A to‘plamga tegishli» deb o‘qiladi. Aks holda, ya‘ni a element A to‘plamga tegishli bo‘lmasa, unda a e A kabi yoziladi va «a element A to‘plamga tegishli emas» deb o‘qiladi. Masalan, A = {1,3,5,7,9} bo‘lsa, u holda 3 e A, 2 e A. Chekli sondagi elementlardan tashkil topgan to‘plam chekli to‘plam, cheksiz sondagi elementlardan tashkil topgan to‘plam esa cheksiz to‘plam deb ataladi. Masalan, Samarqand shahridagi umumiy o‘rta ta’lim maktablari to‘plami chekli to‘plamni, to‘g‘ri kasrlar to'plami esa cheksiz to‘plamni tashkil etadi. Bitta ham elementga ega bo‘lmagan to'plam bo ‘sh to ‘plam deyiladi va 0 kabi belgilanadi. Bo‘sh to‘plamlarga quyidagilar misol bo‘la oladi: a) x 2 + 1 = 0 tenglamaning haqiqiy ildizlari to‘plami; b) o‘zaro parallel ikkita turli to‘g‘ri chiziqning umumiy nuqtalari to'plami; d) x 2 + 1 < 0 tengsizlikning yechimlari to'plami va h.k. Ko‘pincha, to‘plamlar, ulaming elementlari chekli yoki cheksiz bo‘lishidan qat‘iy nazar, simvolik ravishda doirachalar bilan tasvirlanadi. Bu tasvirlash to‘plamlar ustida bajariladigan amallami tasawur qilishda va ular orasidagi munosabatlami o‘rganishda ancha qulayliklar tug'diradi. 1- ta‘rif. Agar A to‘plamning har bir elementi В to‘plamning ham elementi bo‘lsa, A to‘plam to'plamning qismi yoki qismiy to ‘plami {to ‘plamosti) deb ataladi va А с В kabi belgilanadi (1.1- chizma). Bu quyidagicha o‘qiladi: «2?to‘plam A to'plamni o‘z ichiga oladi». Eslatma. Bo‘sh to'plam har qanday A to‘plamning qism to‘plami hisoblanadi: 0 c A. Har qanday A to‘plam o‘z-o‘zining qism to‘plami hisoblanadi: A c A. M isollar: 1) A = {1, 3, 5, 7}, B= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} bo'lsa, ta‘rifga ko‘ra А с В bo'ladi; с . (A ) 1-chizma. 1.2.- chizma. 2) a, b, с uch elementdan iborat bo‘lgan to‘plam berilgan bo‘lsin. Bu to‘plamning hamma qism to‘plamlari quyidagicha boiadi: 0 bo‘sh to‘plam; bir elementli {a}, {b}, {c} to‘plamlar; ikki elementli {a, b), {b, c}, {a, c} to'plamlar va berilgan {a, b, c} to'plamning o‘zi. 2- ta‘rif. Agar A to'plam В to‘plamning qismi, В to‘plam A to‘plamning qismi bo‘lsa, ya‘ni А с В, В cz A bo'lsa, u holda A va В to‘plamlar bir-biriga teng deyiladi va A = В kabi yoziladi. Masalan: A = {1, -1}, В to‘plam esa ushbu (x- 1)2(jc+ l)3 = 0 tenglamaning barcha haqiqiy ildizlaridan tashkil topgan boisa, ravshanki, A to‘plam 5to‘plamga teng bo‘ladi. 2. To‘plamlar ustida amallar. 3- ta‘rif. В ixtiyoriy to'plam bo‘lib, A to'plam uning biror qismi bo‘lsin. В to‘plamning A ga kirmagan barcha elementlaridan tashkil topgan to‘plam A ning В ga qadar to ‘Idiruvchisi deyiladi va u CB(A) kabi belgilanadi (1.2-chizma). Masalan, A = {2, 4}, ^={1, 2, 3, 4, 5, 6} bo‘lsa, u holda CB(A) = { 1, 3, 5, 6}. 4- ta‘rif. A va В ixtiyoriy to‘plamlar bo‘lsin. Agar С to‘plam A va В to‘plamlaming barcha elementlaridan iborat bo‘lib, boshqa elementlari bo‘lmasa, u holda С to‘plam A va В to'plamlarning yig'indisi (birlashmasi) deyiladi va A u В = С kabi belgilanadi (1.3- chizma). 1.З.- chizma. Eslatma. Shuni qayd qilib o‘tish kerakki, agar biror element ham A to‘plamga, ham В to‘plamga qarashli bo‘lsa, bu element С to‘plamda bir marta hisoblanadi. Yuqoridagi 4- ta‘rifdan to‘plamlaming quyidagi xossalari kelib chiqadi: l° .A u A = A . 2° . A u B = B uA . 3° .A v 0 = A. 4°. Agar А с В bo‘lsa, A u В = В bo'ladi. M isollar: 1) A = {0, 2, 4, 6, 8, 10}, B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} bo‘lsa, С = A u В = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10} bo‘ladi. 2) A = {1, 3, 5, 7, 9, ..., 2/1-1, ...}, B={2, 4, 6, ..., 2/7, ...} bo‘lsa, С = A u В = {1, 2, 3, 4, 5, 6, ..., n, ...} bo‘ladi. 5- ta‘rif. A va В to'plamlarning umumiy elementlaridan tashkil topgan to‘plam A va В to‘plamlarning umumiy qismi yoki ко ‘paytmasi (kesishmasi) deyiladi va С = A n В kabi belgilanadi (1.4- chizma). To‘plamlarning quyidagi xossalari 5- ta‘rifdan bevosita kelib chiqadi: 5°. A n A = A. 6°. A n B = B n A. 7 ° .A n 0 = 0. 8°. Agar А с В bo‘lsa, u holda A n В = A bo‘ladi. M isollar: \) A = {±2, ±4, ±6, ±8, ±10, ...}, В ={±3, ±6, ±9, ±12, ...} bo‘lsa, С = A n В {±6, ±12, ...} bo‘ladi; 2) A = {1, 3, 5, 7, 9}, В = {2, 4, 6, 8} bo‘lsa, A n В = 0 bo‘ladi. Eslatma. Biz to‘plamlarning yig‘indisi hamda ko‘paytmasi ta’riflarini ikkita to‘plam uchun keltirdik. Agar Av A2, ..., An to‘plamlar berilgan bo'lsa, ulaming yig‘indisi At u A 2 u ... u An C = A A B 1.5- chizma. 1.6- chizma. hamda ko‘paytmasi A] глА2п ... r>Anham yuqoridagiga o'xshash ta‘riflanadi. 6- ta‘rif. A to‘plamning В to‘plamga tegishli bo‘lmagan barcha elementlaridan tuzilgan С to‘plam A va В to‘plamlaming ayirmasi deyiladi va C = Л\2?каЫ belgilanadi (1.5- chizma). To‘plamlaming quyidagi xossalari 6-ta‘rifdan bevosita kelib chiqadi: 9 ° . A \ 0 = A. 10 ° .0 \A = 0. 1 Г .А \А = 0. M isollar: 1) A ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, В = {0, 2, 4, 6, 8} bo‘lsa, С = Л\2? = {1, 3, 5, 7} bo'ladi; 2) A = {±2, ±4, ±6, ±8, ...}, В = {±3, ±6, ±9, ±12, ...} bo‘lsa, С = A\B = {±2, ±4, ±8, ±10, ...} bo‘ladi. 7 -ta ‘rif. A to‘plamning В to'plamga tegishli bo'lmagan elementlaridan va В to‘plamning A to'plamga tegishli bo'lmagan elementlaridan tuzilgan С to‘plam A va В to'plamlarning simmetrik ayirmasi deb ataladi va С = А Д В kabi belgilanadi, ya‘ni AAB = (A\B) u (B\A) (1.6-chizma). M isollar: 1) A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, B = { 6, 7, 8, 9, 10} bo‘lsa, AAB = {1, 2, 3, 4, 5} и {8, 9, 10} = {1, 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10} bo'ladi; , 2) A = {2, 4, 6, 8, 10, 12, ...}, В = {3, 5, 7, 9, 11, ...} bo‘lsa, AAB = {2, 4, 8, ...}u{3, 5, 7, 9, ...} = {2, 3, 4, 5, 6, 7, ...} bo'ladi. 8- ta‘rif. Birinchi element X to‘plamga va ikkinchi element Y to'plamga kirgan barcha (x, y) juftlardan iborat bo‘lgan nuqtalar to‘plami X va У to‘plamlaming Dekart (to ‘g ‘ri) ко ‘paytmasi deyiladi va u [X , Y] yoki X x Y kabi belgidanadi, ya‘ni С = X x Y = = {(*, y):xe X, у e Y). Eslatma. A to‘plamning o‘z-o‘ziga Dekart ko'paytmasi quyidagicha belgilanadi: A xA = A2 = {(x, j):xe A, ye A}. M isollar: I) A = {a, b, с}, В = {a, p} boisa, u holda A x В = {(o,a), (a,p), (b,a), (6,p), (c,a), (c,p)} bo'ladi; 2) A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} bo‘lsa, A to‘plamning A = A = A 2 Dekart ko'paytmasi 100 ta elementdan iborat bo‘ladi. AxA = A 2 {(0,0), (0,1), (0,2), (0,3), ..., (9,7), (9,8), (9,9)}. 3. Sonli to‘plamlar. Sanoq uchun ishlatiladigan sonlar natural sonlar deb ataladi. Barcha natural sonlar 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 raqamlari yordamida hosil qilinadi. Natural sonlar to‘plami N = {1, 2, 3, ..., л, ...} kabi belgilanadi. Ishorasi natural sonlaming ishorasiga qarama-qarshi bo‘lgan sonlar manfiy natural sonlar deyiladi. Barcha manfiy natural sonlar, nol soni va barcha natural sonlardan iborat to‘plam butun sonlar to ‘plami deyiladi va u, odatda, Z = {..., —n, ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ..., n, ...} kabi belgilanadi. Ravshanki, natural sonlar to'plami butun sonlar to‘plamining qism to‘plamidir: N a Z. Qisqarmaydigan kasr ko‘rinishda tasvirlanadigan har bir son ratsional son deyiladi. Barcha ratsional sonlar to‘plami Q = \ x : x = kabi belgilanadi. Ravshanki, Z с Q, demak, N 0}. 7. A={x\xeR,x2— 8x+15< x< 4}, B={x:xeN, l< x < 7 }. Berilgan А,Ву a С to‘plamlarga ko‘ra AuB, A n C, Au (B n Q, (A n B)n С to‘plamlami toping: 9. Л={х:—3 ’) : — o o < x < + ° o ,+ o o < y < + o o } . 13. >1х5={(х,7):х€[1;2],7е[1;2]}. 14. AxB ={{(x,y): xe [l;3],ye [2;4]}.