Mustaqil ish. Mavzu: Hosila yordamida funksiyani toʻla tekshirish

4. Funksiyaning qavariqligi. Egilish nuqtalari

3 - § da qavariq to`plamda berilgan qavariq yoki botiq funksiya ta`riflangan edi. Ko`p hollarda, qavariq iborasi qavariqligi bilan quyiga, botiq iborasi esa qavariqligi bilan yuqoriga qaragan deb yuritiladi.

y = f(x) funksiya [a;b] kesmada uzluksiz, (a;b) intervalda differensiallanuvchi bo`lsa, kesmada qavariq yoki botiq funksiyani o`zgacha ta`riflash va shu bilan birga, (a;b) intervalda ikki marta differcnsial-lanuvchi bo`lsa, [a;b] kesmada qavariqlik shartini aniqlash imkoni tug`iladi.

4-rasm
y = f(x) funksiya grafigi (a;b) interval chegarasida o`z urinmalaridan yuqorida yotsa, grafik [a;b] kesmada qavariqligi bilan quyiga yo`nalgan (yoki qavariq) deyiladi (4-a rasm). Agarda funksiya grafigi (a;b) interval chegarasida o`z urinmalaridan quyida yotsa, grafik [a;b] kesmada qavariqligi bilan yuqoriga yo`nalgan (yoki botiq) deyiladi (4-b rasm).

6 - Teorema. y = f(x) funksiya (a;b) intervalda ikkinchi tartibli f "(x) hosilasiga ega bo`lib, [a;b] kesmaning chetki nuqtalarida uzluksiz bo`lsa, u holda (a;b) intervalda f "(x) > 0 bo`lsa, funksiya grafigi [a;b] kesmada qavariqligi bilan quyiga, f "(x) ≤ 0 bo`lganda esa qavariqligi bilan yuqoriga yo`nalgan bo`ladi.
Masala. y = (x - 4)· funksiyani qavariqligini tekshiring.

x € (-∞;2)U(0; ∞) da f "(x) > 0 va funksiya grafigi qavariqligi bilan quyiga,

x € (-2;0) da f "(x) < 0 va funksiya qavariqligi bilan yuqoriga yo`naltirilgandir.
y = f(x) funksiya grafigining x<sub>0</sub> abssisali nuqtasiga o`tkazilgan urinma mavjud bo`lib, (x<sub>0</sub> - δ ; x<sub>0</sub>) va (x<sub>0</sub>; x<sub>0</sub> + δ) intervallarda funksiya grafigining qavariqligi turli yo`nalishda bo`lsa, u holda (x₀; f(x)) nuqta funksiya grafigining egilish nuqtasi deyiladi.

5-rasm.

5 - a rasmda M₀(x₀; f(x₀)) nuqta funksiya grafigining egilish nuqtasidir. 5-b rasmda M₁(x₁; f(x₁)) nuqta esa funksiya grafigining egilish nuqtasi bo`la olmaydi, chunki qavariqlik yo`nalishi turlicha bo`lgan bilan M<sub>1</sub>(x<sub>1</sub>; f(x<sub>1</sub>)) nuqtada urinma mavjud emas.
7-teorema. (Egilish nuqta zaruriy sharti) Agar у = f(x) funksiya x<sub>0</sub> nuqtaning biror atrofida aniqlangan bo`lib, M₀(x₀; f(x₀)) nuqta funksiya grafigining egilish nuqtasi bo`lsa, u holda yoki f "(x₀) = 0 yoki f "(x₀) - mavjud emas.