Mustaqil ishi 2023 yil Mavzu: Matritsalar va ular ustida amallarning xossalarini isbotlash reja

Diagonal matritsa diagonal elеmеntlaridan boshqa barcha elеmеntlari nolga tеng bo‘lgan ( а_іј =0, і j ) kvadrat matritsadir.
Diagonal matritsaning diagonal elementlari nolga ham teng bo‘lishi mumkin.
Masalan,

diagonal matritsalar bo‘ladi.
Barcha diagonal elеmеntlari а_іi =1 bo‘lgan n-tartibli diagonal matritsa n-tartibli birlik matritsa yoki qisqacha birlik matritsadir
Odatda n-tartibli birlik matritsa E_n yoki qisqacha E kabi belgilanadi. Masalan,
,
mos ravishda ikkinchi va uchinchi tartibli birlik matritsalardir.
Barcha elеmеntlari nolga tеng (а_{і ј} =0) bo‘lgan ixtiyoriy m×n tartibli matritsa nol matritsa deyiladi.
m×n tartibli nol matritsa О _m×n yoki qisqacha О kabi belgilanadi. Masalan,
O_2×3 = , O_3×2 = , O_3×3 = O₃ =
ko‘rsatilgan tartibli nol matritsalar bo‘ladi.
Matritsalar ustida amallar.
Endi matritsalar ustida algebraik amallar kiritib, matritsalar algebrasini hosil etamiz.
Ixtiyoriy tartibli А_m×n =(а_ij) matritsaning istalgan  songa ko‘paytmasi dеb C_m×n ={ а_ij} kabi aniqlanadigan matritsaga aytiladi.
Bunda A matritsaning  songa ko‘paytmasi A deb belgilanadi. Masalan,
.
Bir xil tartibli А_m×n =(а_ij) va B_m×n =(b_ij) matritsalar yig‘indisi dеb elеmеntlari с_ij = а_ij + b_ij kabi aniqlanadigan C_m×n =(c_ij) matritsaga aytiladi.
Bunda A va B matritsalarning yig‘indisi A+B ko‘rinishda belgilanadi va ularning mos elementlarini qo‘shish orqali hisoblanadi. Masalan,

matritsalar uchun
.
Matritsalarni songa ko‘paytirish va o‘zaro qo‘shish amallari quyidagi qonunlarga bo‘ysunishi bevosita ularning ta’riflaridan kelib chiqadi:
I. A+B=B+A (qo‘shish uchun kommutativlik qonuni);
II. А+(В+С) = (А+В)+С (qo‘shish uchun assotsiativlik qonuni);
III.  (А+В) = А + В , (  +  )А = А + А (distrubutivlik qonuni)
Bundan tashqari yuqoridagi ta’riflar orqali bu amallar ushbu xossalarga ham ega bo‘lishini ko‘rsatish qiyin emas:
А + О = А , А+А =2А, 0  А = О ,   О = О.
Bir xil tartibli А_m×n =(а_ij) va B_m×n =(b_ij) matritsalar ayirmasi dеb А_m×n va (–1) B_m×n matritsalarning yig‘indisiga, ya’ni А_m×n+(–1)B_m×n matritsaga aytiladi.
Bunda A va B matritsalarning ayirmasi A–B ko‘rinishda belgilanadi va ularning mos elementlarini o‘zaro ayirish orqali hisoblanadi. Masalan,

matritsalar uchun
.
А_m×р=(a_ij) vа В_p×n=(b_ij) matritsalarning ko‘paytmasi dеb shunday С_m×n=(c_ij) matritsaga aytiladiki, uning c_ij elеmеntlari ushbu

yig‘indilar kabi aniqlanadi.
Shunday qilib, А_m×р=(a_ij) vа В_q×n=(b_ij) matritsalar uchun p=q, ya’ni A matritsaning ustunlari soni B matritsaning satrlari soniga teng bo‘lgandagina ularning ko‘paytmasi mavjud bo‘ladi va AB kabi belgilanadi. Bunda AB=С_m×n=(c_ij) matritsaning satrlar soni m birinchi A ko‘paytuvchi matritsa, ustunlar soni n esa ikkinchi B ko‘paytuvchi matritsa orqali aniqlanadi. Bundan tashqari AB=С_m×n=(c_ij) ko‘paytma matritsaning c_ij elеmеnti A matritsaning i – satr elеmеntlarini B matritsaning j-ustunidagi mos elеmеntlariga ko‘paytirib, hosil bo‘lgan ko‘paytmalarni qo‘shish orqali hisoblanadi. Bu “satrni ustunga ko‘paytirish” qoidasi deb aytiladi. Masalan,

matritsalar uchun m=3, p=q=2, n = 2 bo‘lgani uchun ularning ko‘paytirish mumkin va ko‘paytma matritsa АВ=С_3х2 quyidagicha bo‘ladi:
.

Matritsalar ko‘paytmasi uchun АВВА, ya’ni kommutativlik qonuni o‘rinli
bo‘lmaydi. Masalan, А_m×qВ_q×n=C_m×n ko‘paytma mavjud, ammo В_q×n А_m×q ko‘paytma har doim ham mavjud emas va mavjud bo‘lgan taqdirda, ya’ni n=m holda ham ular teng bo‘lishi shart emas. Masalan,

matritsalar uchun АВВА, chunki
.
Matritsalar ko‘paytmasi va yig‘indisi quyidagi qonunlarga bo‘ysunadi hamda ushbu xossalarga ega bo‘ladi:
I. А(ВС)=(АВ)С , (А)В=А(В) (ko‘paytirish uchun assotsiativlik qonuni);
II. А(В+С) = АВ + АС (ko‘paytirish va qo‘shish amallari
(А+В)С = АС + ВС uchun distributivlik qonunlari);
III. АЕ = ЕА = А , О·А = О, A·O = О , 0·A= О .
Bunda E va О mos ravishda tegishli tartibli birlik va nol matritsalarni ifodalaydi.
Matritsa ko‘paytmasi ta’rifidan ko‘rinadiki, har qanday n-tartibli A kvadrat matritsani o‘ziga–o‘zini ko‘paytirish mumkin va natijada yana n-tartibli kvadrat matritsa hosil bo‘ladi.
A kvadrat matritsani o‘zaro m marta (m – birdan katta ixtiyoriy natural son) ko‘paytirish natijasida hosil bo‘lgan kvadrat matritsa A matritsaning m- darajasi deyiladi.
A matritsaning m- darajasi A^m kabi belgilanadi. Bunda A⁰=E va A¹=A deb olinib, A^m daraja ixtiyoriy nomanfiy butun m soni uchun aniqlanadi. Bu holda A^m daraja
ta’rifdan uning quyidagi xossalari bevosita kelib chiqadi (m,k-natural sonlar, λ-haqiqiy son):

Shunday qilib, har qanday kvadrat matritsa uchun natural darajaga ko‘tarish amalini kiritish mumkin ekan. Masalan,

Shuni ta’kidlab o‘tish kerakki, 5-xossaning teskarisi o‘rinli emas, ya’ni A^m=О tenglikdan har doim ham A=О ekanligi kelib chiqmaydi. Masalan,

Kelgusida matritsani darajaga ko‘tarish amalini ixtiyoriy m butun son uchun umumlashtiramiz.
B=(b_ij) matritsa A=(a_ij) matritsaning transponirlangani deyiladi, agar i va j indekslarning barcha mumkin bo‘lgan qiymatlarida a_ij=b_ji shart bajarilsa.
A matritsaning transponirlangani A^T kabi belgilanadi. Agar A matritsa m×n tartibli bo‘lsa, uning transponirlangani A^T n×m tartibli bo‘ladi.Masalan,

Matritsani transponirlanganini topish transponirlash amali deyiladi va u quyidagi xossalarga ega bo‘lishini ko‘rsatish mumkin:
1. (A^T)^T=A ; 2. (λA)^T=λA^T (λ– ixtiyoriy haqiqiy son);
3. (A±B)^T= A^T±B^T ; 4. (A·B)^T= B^T·A^T .
Agar A kvadrat matritsa uchun A^T=A bo‘lsa, u simmetrik matritsa, A^T= –A bo‘lganda esa kososimmetrik matritsa dir.
Ta’rifdan har qanday simmetrik matritsaning elementlari a_ij= a_ji , kososimmetrik matritsaning elementlari esa a_ij=– a_ji shartni qanoatlantirishi bevosita kelib chiqadi. Bundan kososimmetrik matritsaning barcha diagonal elementlari nolga teng bo‘lishi kelib chiqadi.
Masalan,

matritsalardan A simmetrik, B kososimmetrik bo‘ladi.