2-lemma: Agar funksiya (k=1,2,3) (0,+∞) oraliqdagi har bir chekli kesmada integrallanuvchi va , bo’lsa u holda (3) tenglama ning ixtiyoriy tebranmaydigan yechimi da, ga intiladi.
2-lemmadan quyidagi xulosa kelib chiqadi.
1-xulosa. Agar , bolsa u holda (3) tenglamaning (m = 0) dagi togri yechimi ushbu asimptotikaga ega boladi.
[2,5] да берилган усуллардан фойдаланиб, давом ettiriluvchi ва davom ettirilmaydigan ечимлар асимптотикасини ВКБ-ечим кўринишида олиш мумкин:
.
Бу ерда, алоҳида, a = 1, n→1 bo’lsa quyidagiga эга бўламиз:
яъни, чизиқли холдаги ВКБ ечим [7].
g(x), p(x) bo‘yicha ma’lum shartlarda Hardi ko‘rinishidagi ВКБ yechim tenglamaning davom ettiriluvchi yechimlarining asimptotikasi bo‘lishini isbotlaylik.(1.12)
1-teorema: da va da
shartlar bajarilsin.
U holda, (1) tenglamaning (m=0) dagi davom ettiriluvchi yechimi bolsa, quyidagi asimptotikaga ega boladi:
Isbot: (1) tenglama yechimini quyidagi korinishda qidiramiz:
(4)
Bu yerda,
u holda (1) (3) tenglama bilan quyidagi korinishiniga ega boladi:
, .
1-teorema shartlariga kora, 2-lemmaning barcha shartlari va bolsa,
bolishi orinli.
(4) asosida biz 1-teoremaning togriligiga ishonch hosil qilamiz.
(1) tenglama yechimlarining 03-lemma: (3) tenglama uchun quyidagi shartlar bajarilsin: [0,+∞) oraliqning har bir oxirgi nuqtasida mutlaqo uzluksiz;
bolsa,
bu erda,
, , , va
Agar qo'shimcha ravishda
tenglamada (agar u holda , agar u holda )
tebranish yechimlari bo'lmasa , (3) tenglamaning har qanday to'g'ri, tebranmaydigan yechimlari ω(τ) uchun bizda
yoki bo'ladi,
bu erda tenglamaning oxirgi ixtiyoriy yechimi.