N. P. Rasulov, I. I. Safarov, R. T. Muxitdinov

Aralash turdagi xosmas integrallar. Agar y=f(x) funksiya x=a nuqtada chegaralanmagan bo‘lsa, unda [a,+∞) yoki (–∞, a] cheksiz yarim oraliqlar bo‘yicha aralash turdagi xosmas integrallar

kabi aniqlanadi. Bunda tengliklarning o‘ng tomonidagi I va II turdagi xosmas integrallarning ikkalasi ham yaqinlashuvchi bo‘lsa aralash turdagi xosmas integral ham yaqinlashuvchi, aks holda esa uzoqlashuvchi deb hisoblanadi.

Masalan,

funksiya uchun xosmas integralni qaraymiz:

,

,

.

Demak, aralash turdagi I integral yaqinlashuvchi va uning qiymati I=I₁+ I₂=3 .

Xuddi shunday tarzda aralash turdagi

xosmas integrallar uzoqlashuvchi ekanligini ko‘rsatish mumkin va bu o‘quvchiga mustaqil ish sifatida havola etiladi.

XULOSA
Aniq integral ta’rifida integrallash sohasi chekli kesma va integral ostidagi funksiya chegaralangan deb qaralgan edi. Ammo bir qator masalalarni yechishda bu shartlardan kamida bittasi bajarilmaydigan vaziyatlar paydo bo‘ladi. Misol sifatida cheksiz geometrik shakllarning yuzasini hisoblash masalasini ko‘rsatish mumkin. Bunday hollarda xosmas integrallar tushunchasidan foydalaniladi. Ular ma’lum bir aniq integral qiymatlarining u yoki bu holdagi limiti kabi aniqlanadi. Bu limit mavjud va chekli bo‘lsa, xosmas integral yaqinlashuvchi, aks holda esa uzoqlashuvchi deyiladi.

Integrallash sohasining kamida bitta chegarasi cheksiz bo‘lgan holda I tur xosmas integral tushunchasiga kelamiz. Agar integral ostidagi funksiya chegaralanmagan bo‘lsa, unda II tur xosmas integralga ega bo‘lamiz. Chegaralaridan kamida bittasi cheksiz va integral ostidagi funksiya chegaralanmagan bo‘lgan xosmas integrallar aralash turli deb ataladi.

Tayanch iboralar

* I tur xosmas integral * Xosmas integralning geometrik ma’nosi * Yaqinlashuvchi xosmas integral * Uzoqlashuvchi xosmas integral *Absolut yaqinlashuvchi xosmas integral * Shartli yaqinlashuvchi xosmas integral * II tur xosmas integral * Aralash turdagi xosmas integral .

Takrorlash uchun savollar

1. 
   Xosmas integral tushunchasi qayerdan paydo bo‘ladi?
   
2. 
   I tur xosmas integral qanday ta’riflanadi?
   
3. 
   I tur xosmas integralning geometrik mazmuni nimadan iborat?
   
4. 
   Qachon xosmas integral yaqinlashuvchi deyiladi?
   
5. 
   Qachon xosmas integral uzoqlashuvchi deyiladi?
   
6. 
   Xosmas integral yaqinlashuvchi bo‘lishining yetarli sharti nimadan iborat?
   
7. 
   Xosmas integral qaysi shartda uzoqlashuvchi bo‘ladi?
   
8. 
   Qachon xosmas integral absolut yaqinlashuvchi deyiladi?
   
9. 
   Absolut yaqinlashuvchi xosmas integral qanday xossaga ega?
   
10. 
    Qachon xosmas integral shartli yaqinlashuvchi deyiladi?
    
11. 
    II tur xosmas integral qanday ta’riflanadi?
    
12. 
    Aralash turdagi xosmas integral qanday aniqlanadi?
    

Testlardan namunalar

1. 
   Qaysi holda integral I tur xosmas integral deyiladi?
   

A) b=+∞ ; B) a= –∞ ; C) a= –∞ va b=+∞ ;

D) a= –∞ yoki b=+∞ ; E) barcha hollarda.

2. 
   Quyidagi integrallardan qaysi biri I tur xosmas integral bo‘ladi?
   

A) ; B) ; C) ;

D) ; E) barcha integrallar .

3. 
   Ushbu ta’rifni yakunlang: I tur xosmas integral I yaqinlashuvchi deyiladi, agar … .
   

A) uning qiymati musbat bo‘lsa; B) uning qiymati manfiy bo‘lsa;

C) uning qiymati nolga teng bo‘lsa; D) uning qiymati chekli bo‘lsa;

E) uning qiymati cheksiz bo‘lsa.

4. 
   I tur xosmas integral qiymatini toping.
   

A) ; B) ; C) ; D) 3.5; E) .

5. 
   I tur xosmas integral  parametrning qanday qiymatlarida yaqinlashuvchi bo‘ladi ?
   

A) >0; B) <0; C) >1; D) <1; E) 0.

6. 
   II tur xosmas integral qiymatini hisoblang .
   

A) 0.5; B) 1; C) 2; D) 4; E) ∞ .

7. 
   II tur xosmas integral yaqinlashuvchi bo‘ladigan  parametrning barcha qiymatlari qayerda to‘g‘ri ko‘rsatilgan?
   

A) <1; B) >1; C) >0; D) <0; E) 0.
Mustaqil ish topshiriqlari

1. 
   I tur xosmas integrallarni hisoblang:
   

a) ; b) ; c) .

2. 
   II tur xosmas integrallarni hisoblang:
   

a) ; b) ; c) .