Namangan davlat universiteti matematik analiz kafedrasi

1.2-§. Ikkinchi tur Eyler integrali (gamma-funksiya).
Gamma- funksiya ushbu
(1.2.1)
integral bilan aniqlanadi va bu integral ikkinchi tur Eyler integrali deb ataladi.
Bu integral da yaqinlashuvchi, da esa uzoqlashuvchidir.
Bo‘laklab integrallash natijasida ushbuni

ya’ni
(1.2.2)
rekurrent formulani hosil qilamiz.
Bu formulani ketma-ket qo‘llab, quyidagiga ega bo‘lamiz:

Agar bunda desak va

bo‘lishini e’tiborga olsak, u holda

kelib chiqadi. bo‘lganda yuqoridagi formula ko‘rinishga ega bo‘ladi.
Shu paytgacha gamma - funksiyada deb hisobladik va uning qiymati sifatida (1.2.1) integralning qiymatini oldik. Gamma - funksiyaning (1.2.2) xossasi uni ning manfiy qiymatlarida ham aniqlashga yordam beradi.
Eng avvalo da va bo‘lganligi uchun (1.2.2) dan

ekanligi kelib chiqadi.
Agar bo‘lsa, (1.2.2) ning o‘ng tomoni mavjud bo‘lib, undan kelib chiquvchi
(1.2.3)
nisbat ham ma’noga ega bo‘ladi. Shuning uchun ta’rif sifatida (1.2.3) tenglikning o‘ng tomonidagi nisbatning qiymatini gamma-funksiyaning bo‘lgandagi qiymati sifatida qabul qilamiz.
U holda (1.2.3) dan kelib chiqadiki,
(1.2.4)
Agar bO‘lsa, (1.2.3) ning O‘ng tomoni ma’noga ega bo‘ladi va shuning uchun uning qiymatini funksiyaning bo‘lgandagi qiymati sifatida qabul qilamiz.
(1.2.4) tengliklarni e’tiborga olsak, (1.2.3) dan kelib chiqadiki,

Xuddi shu kabi, jarayonni davom ettirib, (1.2.3) tenglik yordamida gamma-funksiyani oraliqda aniqlaymiz, bu yerda . Bunda

bo‘lib, juft son bo‘lganda yuqori ishorali, toq son bo‘lganda esa quyi ishorali tengliklar o‘rinli bo‘ladi.
Faraz qilaylik, bo‘lsin, u holda . Shuning uchun (1.1.7) ta’rif ma’nosida mavjud. Unga (1.1.8) formulani marta ketma-ket qo‘llab,

tenglikka ega bo‘lamiz. Bu yerdan esa
(1.2.5)
tenglik kelib chiqadi.
Demak, ixtiyoriy butun bO‘lmagan manfiy son uchun ning qiymatini (1.2.5) tenglik bo‘yicha hisoblash mumkin ekan.
Bulardan tashqari, (1.2.1) va (1.2.5) tengliklardan kelib chiqadiki va uchun