(2.1.1) tenglamani yechish. Bu tenglamada ni bilan, ni bilan almashtirib, so‘ngra tenglamaning har ikki tomonini ifodaga ko‘paytiramiz va bo‘yicha dan gacha integrallaymiz:
Dirixle formulasiga ko‘ra integrallash tartibini almashtirib,
(2.1.2)
tenglikni hosil qilamiz. Tenglikning chap tomonidagi ichki integralda almashtirish bajarsak,
tenglik kelib chiqadi. U holda (2.1.2) ga asosan
(2.1.3)
Bu tenglikning har ikki tomonini differensiallab, Abel integral tenglamasining yechimini hosil qilamiz:
(2.1.4)
Shunday qilib, agar (2.1.1) tenglamaning yechimi mavjud bo‘lsa, u (2.1.4) ko‘rinishda ifodalanar ekan. Bu formulani hosil qilish jarayonidan kelib chiqadiki, agar yechim mavjud bo‘lsa, u yagona.
Shu usulda ko‘rsatish mumkinki, ushbu
(2.1.5)
integral tenglamaning yechimi
(2.1.6)
formula bilan aniqlanadi.
Kasr tartibli integrallar. Matematik analiz kursidan ma’lumki, - karrali integral uchun quyidagi formula o‘rinli:
(2.1.7)
ekanligini e’tiborga olib, (2.1.7) tenglikning o‘ng tomonini ning kasr qiymatlari uchun ham aniqlash mumkin.
(2.1.7) tenglikka mos ravishda kasr tartibli integrallarni quyidagi tartibda aniqlaymiz.
Ta’rif__2.1.1. ( ) bo‘lsin. Ushbu (2.1.8)
(2.1.9)
ko‘rinishdagi ifodalar funksiyaning (kasr) tartibli (Riman-Liuvill ma’nosida) integrallari deyiladi.
va funksiyalar oraliqning deyarli barcha nuqtalarida aniqlangan bo‘lib, sinfga tegishli bo‘ladi.
Bu ta’rifga asosan (2.1.1) va (2.1.5) Abel integral tenglamalarini
(2.1.10)
ko‘rinishida yozish mumkin.
Agar , bo‘lsa, deyarli hamma uchun
(2.1.11)
tenglik o‘rinli bo‘ladi. Haqiqatan ham,
Oxirgi ichki integralda almashtirish bajarish natijasida quyidagi tenglikni hosil qilamiz:
Bu esa (2.1.11) tenglikning to‘g‘riligini ko‘rsatadi.
Ta’rif sifatida
(2.1.12)
deb hisoblaymiz.
