Namangan davlat universiteti matematik analiz kafedrasi

2.2-§. Laplas almashtirishlari

Laplas almashtirishi deb ushbu

(2.2.1)
ifodaga aytiladi. Bu yerda haqiqiy o‘zgaruvchili funksiya bo‘lib, Laplas almashtirishining asli deb ataladi va , funksiya esa Laplas almashtirishining tasviri deb atalib musbat xaqiqiy son yoki xaqiqiy qismi musbat bo‘lgan kompleks son.
Odatda funksiyadan uning tasviriga o‘tish
(2.2.2)
kabi belgilansa, tasvirdan asliga o‘tish
(2.2.3)
kabi belgilanadi va Laplasning teskari almashtirishi deb ataladi.
Laplasning to‘g‘ri va teskari almashtirishi uchun quyidagi munosabatni yozish mumkin:

Laplasning teskari almashtirishi quyidagicha aniqlanadi:
.
Tasvirning mavjudligini va foydalaniladigan barcha xosmas integrallarning yaqinlashishini ta’minlash uchun funksiya quyidagi shartlarni qanoatlantiradi deb faraz qilish yetarlidir.
1. Istalgan chekli intervalda va chekli sondan ko‘p bo‘lmagan birinchi tur uzulish nuqtalariga ega.
2. uchun .
3. funksiya ko‘rsatkichli funksiyadan tez o‘smaydi, yani shunday haqiqiy o‘zgarmas va sonlar mavjudki, tengsizlik bajariladi.
Endi Laplas almashtirishi uchun asosiy qoidalarni isbotsiz keltiramiz.
va lar ta funksiya va ta son bo‘lsin . Agar bo‘lsa,
(2.2.4)
ya’ni originalning chiziqli kombinatsiyasiga tasvirlarning chiziqli kombinatsiyasi mos keladi va aksincha.
Agar va bo‘lsa, u holda
(2.2.5)
tenglik o‘rinli bo‘ladi.
bo‘lsin. U holda istalgan uchun
(2.2.6)
tenglik o‘rinli bo‘ladi.
Agar bo‘lsa, u holda tenglikdan
(2.2.7)
tenglik kelib chiqadi.
Agar bo‘lsa, u holda dan
(2.2.8)
tenglik o‘rinli bo‘ladi.
funksiya oraliqda uzluksiz differensiallanuvchi va hosila
tasvir mavjudligining xossalarini qanoatlantirsa, u holda
tenglikdan
(2.2.9)
tenglik, xususan, tenglik o‘rinli bo‘lsa, tenglik kelib chiqadi.
funksiya oraliqda uzluksiz differensiallanuvchi va hosila mavjud bo‘lsa va tasvir mavjudligining xossalarini qanoatlantirsa, u holda tenglikdan
(2.2.10)
tenglik kelib chiqadi, xususan , shartlarni qanoatlantirsa,
(2.2.11)
tenglik o‘rinli bo‘ladi.
funksiya oraliqda uzluksiz va tasvir mavjudligining xossalarini qanoatlantirsin hamda bo‘lsin . U holda
(2.2.12)
tenglik o‘rinli bo‘ladi.
Agar bo‘lsa,
, (2.2.13)
(2.2.14)
tengliklar o‘rinli bo‘ladi.
Agar va funksiya tasvir mavjudligining xossalarini qanoatlantirsa, u holda
(2.2.15)
tenglik o‘rinli bo‘ladi.